Métricas

Métricas en espacios bidimensionales

Cuando en un espacio Euclídeo bidimensional, tal y como podría ser una hoja de papel, calculamos la distancia entre dos puntos de cordenadas cartesianas (x₀, y₀) e (x₁, y₁) utilizando el teorema de Pitágoras

S²₁₂ = (x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²

Que se puede espresar en forma diferencial (en el límite de puntos muy próximos) como

ds² = dx² + dy²

Esta es la distancia euclídea o elemento de línea del espacio euclídeo. A veces es llamada métrica, pero la métrica en sentido técnico es un objeto matemático más abstracto: un tensor.

Por supuesto que la elección de las coordenadas cartesianas es un hecho arbitrario. Podríamos haber elegido coordenadas polares (r, q) de tal manera que el elemento de línea se puede escribir de la forma

ds ² = dr ² + r ² dq ²

¿Existe alguna manera de reconocer que un elemento de línea expresado en cualquier tipo de coordenadas pertenece a un tipo de superficie o espacio particular?. Es decir, ¿existe alguna manera de decidir que los dos elementos anteriores pertenecen a una hoja de papel (un espacio bidimensional plano)?. La respuesta es afortunadamente un SÍ. Existe una función K de las coordenadas conocida como curvatura gaussiana que se puede calcular a partir del elemento de línea y que determina la geometría local de la superficie considerada. En el caso de un espacio euclídeo habitual se cumple que K = 0, y por eso decimos que es un espacio de curvatura nula. Nos referimos concretamente a la geometría local, puesto que, por ejemplo, aunque la superficie de un cilindro sea una superficie de curvatura nula (K=0) y localmente igual a un plano, ambos difieren obviamente desde un punto de vista global (o topológico).

Veamos lo que ocurre en un tipo de superficie diferente. ¿Cómo podemos, por ejemplo, dar una medida de longitud entre dos puntos situados sobre una esfera (tal y como ocurre en nuestro planeta)?. Elijamos las coordenadas usuales de longitud y latitud (q,j). Para dos puntos arbitrariamente cerca (q,j) y
(q + dq , j + dj ) podemos movernos en latitud a lo largo de un meridiano una distancia R dq y a lo largo de un paralelo una distancia R senq dj hasta alcanzar el otro punto. La distancia para ir entre los dos puntos siguiendo el círculo máximo que los une directamente es entonces

ds² = R² dq ² + R² sen²q dj ²

Es el factor sen²q es el que hace tan diferente a una esfera de un plano.

Integrando el elemento de línea ds entre dos puntos separado una distancia finita, tenemos la longitud de un círculo máximo, que representa la distancia más corta entre esos dos puntos (geodésica) en una esfera. En la figura 1 se pude ver una geodésica que podría representar perfectamente la trayectoria de un avión que vuela entre dos ciudades del planeta.

Figura 1.

Este es el elemento de línea de una esfera en coordenadas esféricas apropiadas. Una manera de representar una esfera es mediante una proyección sobre un plano, conocida como proyección estereográfica (ver figura 2.), por razones obvias

Figura 2.

La coordenadas (x,y) en el plano proyectado de un punto de coordenadas esféricas (q,j) estarán relacionadas de la siguiente manera

x = 2 R tag (q /2) cosj

y = 2 R tag (q /2) senj

El elemento de línea de la esfera en estas coordenadas sería entonces

ds² = [dx² + dy²] [1+ (x²+y²)/4]^-2

La proyección estereográfica representa la superficie finita de una esfera en un mapa plano de dimensiones infinitas. Tiene la interesante propiedad de no distorsionar las figuras. Así, círculos en la esfera se convierten en círculos en el mapa, y no por ejemplo en elipses.

Existen otro tipo de proyecciones muy conocidas en geografía. Quizás la más famosa es la de Mercator. La proyección de Mercator es una proyección cilíndrica modificada para que sea posible que una línea de rumbo (Sur-Este por ejemplo) sea una línea recta, lo que facilitaba el trabajo de los marineros al mirar un mapa. Todos conocemos el efecto de distorsión que produce este tipo de proyecciones (no nos parece tan obvio por estar tan acostumbrados a usar mapas en la vida diaria). En la figura 3 se representa a la izquierda la superficie esférica de la Tierra y a la derecha una proyección de Mercator de la misma.

Figura 3.

En un mapa plano de la superficie terrestre las geodésicas (o círculos máximos) sobre la superficie terrestre toman la forma que se puede ver en la figura 4 para dos de ellas. Eso significa que por ejemplo un avión que quisiera viajar entre dos puntos de la superficie terrestre cubriendo la menor distancia posible debería hacerlo siguiendo alguna de esas líneas geodésicas, tal y como las rojas señaladas en la figura 4.

Figura 4.

Existe un tipo de métrica de una variedad más abstracta de espacio bidimensional que tiene la siguiente forma en las coordenadas (x,y) anteriores

ds² = [dx² + dy²] [1- (x²+y²)/4]^-2

que se diferencia de la de la esfera sólo en el signo que aparece en el denominador. Esto nos lleva a un posible generalización del tipo

ds² = [dx² + dy²] [1+ k (x²+y²)/4]^-2

donde para K = 0 se reproduce el espacio euclídeo plano, para k = 1 tenemos la esfera, y para K = -1 el tipo de espacio anteriormente mencionado. Por razones obvias, el espacio euclídeo se dice un espacio de curvatura nula, la esfera uno de curvatura positiva y los espacios del último tipo de curvatura negativa. Un espacio que se suele poner como ejemplo de espacio de curvatura negativa es una silla de montar (ver figura 5.).

Figura 5.

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