Ecuación del movimiento

El principio cosmológico simplifica en gran medida el estudio dinámico del universo como un todo.

En primer lugar, uno puede elegir el sistema de referencia de un observador en una galaxia típica (denominado habitualmente sistema de coordenadas co-móviles) y estudiar la evolución del universo en función de un tiempo definido por cualquier magnitud del tipo de la densidad de materia o la temperatura del fondo cósmico de microondas. Tenemos entonces una especie de "tiempo cósmico", de tal manera que cuando éste coincida para dos observadores, podrían coincidir en las medidas de todas las magnitudes de importancia cosmológica. Esto, por supuesto, no significa que en el sistema de referencia local de un observador, las medidas de tiempos no estén sujetas perfectamente a la descripción de la relatividad especial. Pero en nuestras coordenadas co-moviles además podemos permitirnos el lujo de aplicar una aproximación Newtoniana a la gravedad si consideramos que la forma dominante de energía en el universo es materia que se mueve con velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, es decir, materia no relativista, que a veces es también llamada materia fría. Escogamos entonces una esfera de radio R alrededor del observador y densidad constante r en cuyo borde externo se mueve una galaxia típica de masa m. El teorema de Birkoff (equivalente al teorema Newtoniano que no permite despreciar la contribución de toda la masa externa a la esfera) de la Relatividad General nos permite asegurar que la energía total de la Galaxia viene dada por

E = 1/2 m v² - 4/3 p G m r R² = constante

Introduciendo la ley de Hubble (v = H R) e incluyendo la masa de la galaxia en la constante energética obtenemos

E = 1/2 H² R² - 4/3 p G r R²

El principio cosmólogico de nuevo nos ayuda a generalizar esta expresión, puesto que la homogeneidad e Isotropía implican que el radio R es sólo función del tiempo, y por tanto podemos poner

R (t) = a(t) R

Donde a(t) es un factor adimensional que se conoce como parámetro de expansión, y que ya no depende de los objetos concretos que se elijan.

Podemos definir a(t₀) = 1, donde t₀ es el momento presente y fácilmente llegar a la ecuación de evolución del parámetro de expansión.

E = (da/dt)² - 8/3 p G r a²(1)

Universo de Einstein-de Sitter

El Universo de Einstein- de Sitter es un caso particularmente sencillo donde la tendencia a la expansión y la atracción gravitatoria están en un punto crítico de tal manera que la energía total es cero.

Por lo tanto tenemos que

(da/dt)² = 8/3 p G r a²(2)

Por supuesto, se tiene que cumplir para cualquier tiempo, y en particular en t₀ obtenemos:

H₀² = 8/3 p G r _crit

Donde r_crit es la denominada densidad crítica

r _crit = 3 H₀² / (8 p G) = 1.879 h² 10^-29 g/cm³

Como la densidad es inversamente proporcial a a³ , la relación (2) se satisface para un parámetro de expansión proporcional a t^2/3, y por tanto

a(t) = (t₀ / t)^2/3 = 1+ z

donde z es el redshift (corrimiento al rojo) y t₀ es el tiempo transcurrido desde el Big Bang como medido por el observador.

Además sabemos que, según la ley de Hubble,

H (t) = d (ln a) / dt = 2/(3 t)

Otra relación de utilidad es

H₀ dt = (1+ z)^-5/2 dz

Y por tanto, el tiempo de expansión en la actualidad es

t₀ = 2/ (3 H₀)

Universos dominados por materia fría de tipo general.

La ecuación de conservación de la energía puede ser reescrita en el caso general de la siguiente manera

H²/ H₀² = (1 / a²) (1-W₀) + (1/a³) W₀

Donde W₀ = r₀ /r_crit , es decir, la fracción de la densidad actual y la densidad crítica.

Puesto que

a(t₀) / a(t) = longitud de observada / longitud de onda emitida = 1+ z

y H (t) = d (ln a) / dt = - d(ln (1+ z))/dt tenemos

H₀ dt = (1+ W₀ z)^-1/2 (1+ z)^-2 dz

Integrando esta ecuación para redshift desde 0 a infinito, obtenemos el tiempo de expansión. Para W₀ = 1 obtendríamos el caso anterior del Universo de Einstein-de Sitter, H₀ t₀ = 2/3. Para W₀ = 0 obtendríamos el caso particular del universo vacío de materia, donde H₀ t₀ = 1.

Universos dominados por radiación

En un universo dominado por radiación (o por cualquier tipo de partículas con velocidades relativistas, a veces denominada materia caliente) tenemos que considerar la densidad de energía, además de la contribución de la presión. La ecuación del movimiento puede ser escrita en este caso como:

d²a/dt² = - 4/3 p G (r_rad + 3 P_rad/c²) a

Donde el término que sutituye a la densidad se obtiene a partir de la traza del tensor energía-impulso en la ecuación de campo de Einstein. Por tanto el lector tiene que aceptar este hecho sin demostración. Se puede entender de todas maneras como que la contribución gravitacional dentro del volumen está dada por la densidad de energía sumada al flujo de densidad de momento que entra en el volumnen en cada dirección espacial debido precisamente a la presión de la radiación (de ahí el factor 3).

Pero la presión de un gas de partículas relativistas de densidad de energía u viene dada por

P = u/3 = r_rad c²/3

Lo que pruduce como efecto una contribución doble de la densidad.

La presión produce un efecto añadido de disminución de la densidad que podemos medir por el trabajo

dW = P dV = r_rad c² 4/3 p R² dR

Que hay que restar a la energía total 4/3 p R³ r_rad c²

Y por tanto

d [R³ r_rad] = - R² r_rad dR Þ d[log(r_rad)] = - 4 d [log R] Þr_rad µR^-4

Este resultado se puede entender como que se produce una disminución de la densidad por un factor R^-3 debido al aumento de volumen, y un factor adicional R^-1 producido por el aumento de la longitud de onda de la partícula debido a la expansión. La dinámica se convierte entonces en

d²a/dt² = - 4/3 p G (2 r₀) a^-3

Cuya primera integración nos lleva de nuevo a una ecuación para la energía:

E = (da/dt)² - 8/3 p G r a^-2

Donde E es ahora el doble de la energía total. La densidad crítica en este caso tiene la misma expresión que habíamos encontrado para el universo de Einstein-de Sitter. El parámetro de expansión para un universo crítico dominado por radiación va como el t^1/2

Universo dominado por la densidad de energía de vacío. Universo de de Sitter.

La densidad de energía de vacío (que se puede asociar perfectamente con la constante cosmológica) contribuye con una presión negativa que podemos medir por el trabajo

dW = P dV = - 3 r_vacío c² 4/3 p R² dR

Que hay que restar a la energía total 4/3 p R³ r_vacío c²

Y por tanto

d [R³ r_vacío] = 3 R² r_vacío dR Þ r_vacío = constante

es decir, la densidad de energía de vacío pertenece constante durante la expansión, lo que es razonable, puesto que las fluctuaciones cuánticas de vacío no deberían depender de lo que ocurre en el universo. La ecuación dinámica en este caso es

d²a/dt² = 4/3 p G (2 r_vacío) a

que tiene una solución exponencial del tipo

a(t) µ exp[H t]

donde H = (8/3 p G r_vacío)^1/2

donde obviamente H no depende del tiempo.

Caso general

Veamos por último como podemos estudiar un universo de tipo general donde halla contribuciones de materia fría, materia caliente y densidad de energía de vacío. Puesto que las contribuciones a la energía potencial se suman de forma lineal, obtenemos la siguiente ecuación para la energía total del sistema

H² a² = E + 8/3 p G a² (r_v0 + r_m0 a^-3 + r_r0 a^-4)

Donde r_v0 ,r_m0 y r_r0 son la densidad de energía de vacío, densidad de materia fría y radiación respectivamente para t = t₀

Ecuación que podemos escribir también como

H² = H₀² ([1 - W_{v0 -}W_{m0 -} W_r0] [1+z]² + W_v0 + W_m0 [1+z]³ + W_r0 [1+z]⁴)

Donde W_v0 ,W_m0 , W_r0 son las densidades de vacío, materia y radiación respectivamente relativas a la densidad crítica.

Y como solemos hacer para la variación del tiempo con respecto al redshift

H₀ (1+ z) dt/dz = ([1 -W_{v0 -}W_{m0 -}W_r0] [1+z]² + W_v0 + W_m0 [1+z]³ + W_r0 [1+z]⁴)^-1/2

Parámetro de desaceleración.

A veces puede ser útil desarrollar en serie de potencias. Por ejemplo el parámetro de expansión puede ser puesto como

a(t₀+Dt) = a(t₀) {1+H₀Dt - 1/2 q₀ (H₀Dt)²+...}

donde hemos introduciodo el nuevo parámetro q₀ denominado por razones obvias de desaceleración y que se puede definir como

q₀ = - a (d²a/dt²) (da/dt)^-2

 La ecuación del movimiento en el caso general puede ser escrita como

d²a/dt² = - 4/3 p G (r + 3 P/c²) a^-2

y recordando que H = (1/a) (da/dt), tenemos

q₀ = 4/(3 H₀²) p G (r₀+ 3 P/c²) = 1/2 W_m0 +  W_r0  -  W_v0

Los valores del parámetro de desaceleración para los diferentes tipos particulares de universo, lo podemos resumir

• Universo de Einstein-de Sitter q₀ = 1/2

• Universo crítico dominado por radiación q₀ = 1

• Universo vacío q₀ = 0

• Universo dominado por la densidad de energía de vacío q₀ = -1

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