Supuestos y aproximaciones en el movimiento de proyectiles

Quisiera ahora recordar al lector que para calcular todas estas cantidades acerca del movimiento de un proyectil, hemos hecho los siguientes supuestos o hipótesis.

1. La independencia de los movimientos horizontal y vertical

2. El principio de inercia o la tendencia de los cuerpos a continuar en su estado de movimiento.

3. Se desprecia la resistencia del aire.

La independencia de los movimientos en las direcciones horizontal y vertical es una aproximación que nos simplifica mucho los cálculos y que se puede comprobar con un experimento relativamente sencillo como el que se muestra en la figura 7. Pero no debemos preocuparnos por ello si funciona. Muchas veces en física se hacen supuestos para simplificar los problemas. Y sabemos que estos supuestos son razonables porque nos permiten disparar obuses y dar en el blanco. Y si el lector está pensando que el ejemplo es muy bélico, desgraciadamente gran parte del conocimiento científico ha tenido sus primeras grandes aplicaciones en el contexto militar. Pero esto es culpa de las relaciones sociales humanas. Donde no hay bombas atómicas o siquiera armas de fuego, la gente se sigue matando a cuchilladas, a pedradas o a palo limpio. Esa es la triste circunstancia humana.

Figura 7. Montaje experimental para demostrar la independencia de los movimientos vertical y horizontal.

El principio de inercia es una observación fundamental para entender las propiedades del movimiento. Cuando se explica a alguien el principio de inercia no suele encontrarlo difícil de entender. Pero es más difícil que aprenda a utilizarlo en la práctica, puesto que en nuestro inconsciente tenemos la asociación de ideas: "si un cuerpo se mueve es porque algo lo está moviendo". Esa asociación es bastante cierta cuando miramos a nuestro alrededor, porque los objetos que se mueven siempre están sujetos al rozamiento, ya sea por el contacto con otros cuerpos o por el roce con el aire. Un ejemplo obvio de la inercia de un cuerpo lo tiene usted cuando lanza un objeto verticalmente hacia arriba. Una vez que el objeto está en el aire no hay nada que lo impulse hacia arriba, al contrario, tenemos la gravedad que lo tiende a traer hacia abajo y por eso termina finalmente cayendo. Pero antes de que esta caída se produzca, el cuerpo asciende durante un instante. Si no existiera la inercia, por mucho que tratáramos de impulsar el cuerpo hacia arriba, este tendría que seguir el curso de la atracción gravitatoria y caer directamente. Nos sentiríamos un poco confundidos si cada vez que tiráramos un objeto, por mucho que lo impulsáramos, se fuera directamente hacia el suelo.

Pero hay una objeción a todo esto: ¿no podría ser que al tirar el cuerpo le estoy comunicando una fuerza que permanece en el cuerpo después de lanzarlo?. La objeción es seria, pues fue mantenida durante muchos siglos antes del renacimiento por un grupo de sabios aristotélicos, es decir, seguidores de las doctrinas físicas del gran sabido de la antigüedad, Aristóteles (384-322 a.C.). Veamos lo que sucedería si esto fuera cierto: habría que suponer que ese impulso que hemos comunicado tiene que ir agotándose a medida que el cuerpo asciende, puesto que si no fuese así el cuerpo ascendería indefinidamente. Ahora bien, al principio la fuerza de impulso debería superar a la gravedad y llegaría un momento en que tendrían que igualarse. Eso parece que tendría que suceder justo cuando el cuerpo alcanza la máxima altura, pues justo en ese instante el objeto se detiene para empezar el descenso. Pero en ese momento tendría que suceder una de las siguientes cosas: bien la fuerza de impulso desaparece de súbito, bien sigue disminuyendo a medida que desciende el cuerpo. El primero de los casos parece más magia que física y en el segundo tendríamos que suponer que los cuerpos que están descendiendo están sometidos a una fuerza de impulso hacia arriba, cosa que parece absurda. El lector puede continuar con esta línea de razonamiento, pero puede fiarse de mi palabra si le digo que no conseguirá nada complicándose la vida de esa manera. Como ve, el principio de inercia (aunque también parecieratener algo de magia) nos ahorra meternos en atolladeros que no parecen tener una salida tan sencilla.

Veamos por último qué ocurre cuando consideramos el rozamiento con el aire. En la caída de un objeto se observa que éste tiende a alcanzar una velocidad límite en la caída, independientemente de la altura de la que caiga si ésta es suficientemente grande (más información interesante aquí). Esa velocidad límite depende de las características aerodinámicas del objeto. Esto está en acuerdo con considerar que la fuerza de rozamiento aumenta con el cuadrado de la velocidad y que el frenado debido al rozamiento se puede englobar de forma aproximada en una desaceleración contraria a la gravedad y dada aproximadamente por:

a = 0.3 v²/M

donde M es la masa del cuerpo.

Sin embargo, para velocidades tan altas como 600 km/h, el rozamiento directo es despreciable si la forma aerodinámica del objeto es relativamente buena. Sin embargo, está claro que debe haber algún efecto a considerar, puesto que el proyectil desplaza cierta masa de aire en su movimiento, y para ello necesitará utilizar parte de su "energía de movimiento". Este hecho ya fues señalado por Isaac Newton en su gran obra "Principios matemáticos de la filosofía natural" (habitualmente denominada "Principia"). El razonamiento de Newton fue algo así como: el proyectil aparta el aire de su camino comunicándole una velocidad del mismo orden que la velocidad con la que se mueve el propio proyectil, y por tanto éste se detendrá cuando haya movido una masa de aire del orden de su propia masa (esto está basado en un principio denominado "conservación del impulso, o momento lineal" que se explicará a su debido tiempo").

Supongamos que el proyectil se mueve una longitud L a través de un medio (como pueda ser el aire o el agua). La masa del medio que se ha desplazado debe ser proporcional a la densidad del medio d_M y a la longitud L. Por otro lado, la masa del proyectil es proporcional a su densidad d_P y a su longitud l. (En realidad deberíamos hablar de volúmenes, pero si el lector medita un poco, el volumen es una superficie por una longitud, pero la superficie es aproximadamente la misma en ambos casos). Entonces debe cumplirse que:

L / l = d_P / d_M

Por ejemplo, para un proyectil de acero (con una densidad unas 10 veces la densidad del agua) de un metro de longitud que se mueve por el aire (con una densidad de unas 1000 veces menor que la del agua), tenemos que la relación de longitudes es de 10000. Es decir, que sería capaz de recorrer uno 10 km antes de detenerse. En el agua sólo, un proyectil sólo recorrería unas 10 veces su longitud (de ahí que los torpedos tengan que llevar su propio motor). Si el lector se fija, la longitud de penetración en el medio no depende de la velocidad inicial. Según George Gamov, esto confundió a los expertos militares estadounidenses que en un principio empezaron a dejar caer explosivos desde alturas cada vez mayores para conseguir que estos estallaran a mayor profundiada en el suelo, que veían una y otra vez como la longitud de penetración no dependía de lo alto que lo dejaran caer. Todo ello a pesar de que la cuestión llevaba resuelta en los libros de física ¡más de tres siglos!.

Lecturas recomendadas

Hewitt, Paul G. FISICA CONCEPTUAL. Segunda Edición. Addison-Wesley Iberoamericana. §4.8 y 6.9.

Copyright 1996-2004 Pedro J. Hernández