Métrica en relatividad especial: espacio-tiempo de Minkowski

En relatividad especial es más conveniente hablar de espacio-tiempo, más que de ambos por separado. Para ello se usa el siguiente elemento de línea

ds2 = c2 dt2 - [dx2 + dy2+ dz2]

que puede en cierta manera entenderse como un espacio-tiempo euclídeo donde la cuarta coordenada es el número imaginario i c t, donde c representa la velocidad de la luz.
 

Si eliminamos la coordenada espacial z para poder hacer una representación gráfica, tenemos una imagen como la de la figura 6. El eje vertical (que no está pintado) representaría la coordenada ct y el plano que sería perpendicular al plano de la imagen representaría el plano de las coordenada x e y. El cono pintado de rojo representan los rayos de luz que salen del observador en la dirección del futuro y que llegan al observador desde el pasado. Los rayos de luz recorren las geodésicas de tipo nulo (ds = 0). Las trayectorias de cualquier partícula material tiene que estar necesariamente dentro de los conos de luz (principio de causalidad). La trayectoria de cualquier observador en reposo con respecto al sistema de referencia considerado se representa como una línea de mundo tal y como se ve a la derecha en la figura 6.

Figura 6.

A modo de breve recordatorio solamente decir que en una representación de Minkowski, un sistema de referencia (x',t') que se mueve con velocidad v se representa como un sistema no ortogonal en el sistema de referencia inercial(x,t) donde se sitúa el observador. Ambos sitemas de referencia están relacionados por una transformación de Lorentz.

El ángulo q   es tal que se cumple

tanh q   =   v/c

Donde tanh  q   es la tangente hiperbólica del ángulo definida como

tanh  q   =  (eq  - e-q) / (eq + e-q)

    Así, una tranformación de Lorentz puede ser vista de forma abstracta como una rotación en el espacio complejo (x, ict). Esto se traduce al espacio-tiempo físico (x, t) simplemente cambiando las funciones trigonometricas por sus respectivas hiperbólicas. Así tenemos que

x' = x coshq  - c t senhq
c t' = - x senhq  + ct coshq

donde senh q   =  v/c (1-v2/c2)-1/2  y  cosh q   =  (1-v2/c2)-1/2
    En este punto es importante detenernos a pensar qué significa hacer una medida de tiempo o distancia en un espacio-tiempo relativista. Nuestro únicos elementos de partida son observadores que llevan relojes y que son capaces de enviar señales de radar. Cada punto en el espacio-tiempo relativista se denomina suceso o evento.

Supongamos un observador que en un momento (evento S) envía una señal de radar hasta el objeto colocado a una cierta distancia D que tratamos de medir, rebotando en el evento E y regresando al observador en el evento R. Aprovechando el hecho de que las ondas electromagnéticas viajan siempre a velocidad c podemos decir que se cumple

2 D = c (tR-tS)

siendo 2 D el camino de ida y vuelta y (tR-tS) el intervalo de tiempo medido por el reloj que lleva el observador entre el instante de emisión (S) y el recepción de la señal (R). Y por tanto, la distancia al evento (E) no es más que

D = c (tR-tS)/2

Utilizar el elemento de línea en este caso resulta sencillo. Los eventos (S) y (E) están conectados por una geodésica de tipo nulo(ds = 0) seguida siempre por los rayos de luz. La distancia que mide el observador es dx = D y el intervalo de tiempo dt = (tR-tS)/2. Por tanto sustituyendo en la expresión del elemento de línea Minkowskiano para una dimensión espacial

ds2 = c2 dt2 - dx2

obtenemos el mismo resultado anterior.

Pero en relatividad no sólo hay que tener cuidado con las medidas de distancia; también con las de tiempo. Supongamos que dos observadore A y B se mueven uno con respecto a otro con velocida relativa constante v. En el instante en que se cruzan (evento (Z)) aprovechan para poner sus cronómetros a cero y ponerlos en marcha. Situémonos en el sistema de referencia de A y enviemos una señal de radar a B (evento (S)) en el instante en el que el cronómetro de A marque 1 segundo (tA(S) = 1 s). En el instante de rebote de la señal el cronómetro de B marcará un tiempo desconocido de k segundo (tB(R) = k). Por similaridad, en un instante cualquiera t en el que A decida enviar la señal, cuando sea recibida por B, su cronómetro indicará k· t. En concreto, una señal envida por A en el instante k según su cronómetro, será recibida por B en el instante k· k según el suyo. Otra vez por simetría, y puesto que los observadores son intercambiables, el pulso recibido por B cuando su cronómetro indicaba k llegará al observador A cuando su propio cronómetro indique k· k.

Así, la distancia D(R) al observador B como medida por A a través del rebote de la señal de radar en el evento (R) será

D(R)= c (k· k - 1)/2

y el tiempo tA(R) que mediría A en el momento que trancurre el evento (R) puede se calculado como

tA(R) = 1 + (k· k - 1)/2 = (k· k +1)/2

La velocidad con que se mueve el observador B como visto por A se calcula por tanto de esta manera

v = D(R)/tA(R) = c (k· k - 1) / (k· k +1)

Si ahora despejamos k obtenemos la fórmula relativista para el efecto Doppler

k = [(1+v/c) / (1 - v/c)]1/2

Vemos entonces que A observa que el cronómetro de B va más lento, pues mientras este último indica un tiempo k para el evento (R), el cronómetro de A indica un tiempo (k· k +1)/2 para este mismo evento. El factor de dilatación temporal es entonces

(k· k +1)/( 2· k) = [1 - v2/c2]-1/2

Por supuesto, la simetría del proceso nos indica que B observará que el cronómetro de A va más despacio que el suyo propio. Y uno no debe pensar que aquí hay una paradoja puesto que tenemos que pensar que estamos hablando del tiempo como lo mide cada observador y en ningún momento A y B han vuelto a coincidir para compara sus lecturas. En el caso de que se produjera ese encuentro la situación sería diferente, puesto que para que esto ocurra alguno de ellos o ambos deberían desacelerar y cambiar de velocidad, con lo que el proceso deja de producirse en sólo dos sistemas de referencia inerciales y la descripción del fenómeno cambiaría. Este es el famoso problema o paradoja de los mellizos, que como se puede ver no es realmente ninguna paradoja.

Por último vamos a describir la medida de la longitud de objeto en movimiento. En la figura de la derecha se representa un observador que se mueve con una vara de longitud L0 y otro observador que se mueve respecto al primero a una velocidad de 0.6 c. Mientras el primero mide 10 tics de reloj para un pulso de radar que va y viene de uno de los extremos al otro de la vara, el otro observador mide sólo 8 tics de reloj (=10 (1-0.62)1/2 ). Así, la longitud de la vara en movimiento L parece haberse reducido respecto a la misma vara en reposo L0 en un factor (1 - v2/c2)1/2, es decir

L = L0 (1 - v2/c2)1/2

¿Cómo relacionamos todo esto con el elemento de línea?. La respuesta es sencilla. El elemento de línea ds2 = c2 dt2 - dx2 nos da la "distancia espacio-temporal" entre dos eventos. Esta "distancia" es independiente del observador que la mida. En concreto, para un observador cuya línea de mundo pase por ambos eventos, ds/c no es más que el tiempo propio, es decir, el intervalo de tiempo que ha medido con su reloj entre su paso por ambos eventos.
 


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