Expansión exponencial: el modelo de de Sitter

    La densidad de energía de vacío (que se puede asociar de alguna forma, no muy bien entendida en la actualidad, con la constante cosmológica) contribuye con una presión dada por la ecuación de estado P = - r_vacío c² que podemos medir por el trabajo infinitesimal dW realizado en la expansión:

dW = P dV = - 3 r_vacío c² 4/3 p a² da

siendo a el parámetro de expansión.

Ese trabajo sólo puede proceder de la variación de la energía del vacío
U_vacío = 4/3 p a³ r_vacío c² al aumentar el volumen del universo

Y por tanto tenemos que debe cumplirse que

Variación de la energía de vacío = trabajo realizado en la expansión

d [a³ r_vacío] = 3 a² r_vacío da Þr_vacío = constante

es decir, la densidad de energía de vacío pertenece constante durante la expansión, lo que es razonable, puesto que las fluctuaciones cuánticas de vacío no deberían depender de nada, puesto que en el vacío ¡no parece haber nada de lo que puedan depender!. Así que razonando de forma inversa a partir del hecho simple de que la densidad de energía de vacío debe permanecer constante, podremos entender perfectamente de dónde procede la igualdad P = - r_vacíoc²

La ecuación dinámica en este caso es

d²a/dt² = 4/3 p G (2 r_vacío) a

que tiene una solución exponencial del tipo

a(t) µ exp[H t]

donde H es la constante de Hubble que permanece realmente constante y con un valor:

H = (8/3 p G r_vacío )^1/2

En este sentido podemos decir que el modelo de de Sitter es un modelo estático de universo. Es decir, si hacemos una traslación temporal t ® t +T tenemos que a(t+T) µ exp (HT) exp(H t) = exp (HT) a(t). Luego reescalamos las distancias por un factor exp (HT), el universo en el instante t+T debe ser idéntico a sí mismo en el instante t. Por tanto, ninguna escala de longitud característica puede identificarse con un instante.

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