La obtención de las
ecuaciones que rigen la evolución del universo puede hacerse
con argumentos de la física clásica y utilizando
cálculo sencillo al alcance de cualquier alumno de
bachillerato. Esta posibilidad es debida al principio cosmológico:
condición de homogeneidad
e isotropía del universo a gran escala que nos permite
utilizar la dinámica newtoniana como una excelente
aproximación.
Si
elegimos una región esférica del universo, lo
suficiente grande para que la condición de homogeneidad e
isotropía sea una buena aproximación, pero lo
suficiente pequeña para que las velocidades de alejamiento de
las galaxias se mantengan muy por debajo de la velocidad de la luz,
un famoso teorema nos asegura que podemos
ignorar las fuerzas gravitatorias producidas por el resto de la masa
del universo y aplicar la aproximación newtoniana de la
relatividad general a dicha región esférica.
Así, si imaginamos una
galaxia en el mismo borde de la esfera que se mueve con velocidad v,
podemos aplicar el principio de conservación de la energía
en analogía al lanzamiento de un proyectil desde la superficie
terrestre como:
energía cinética + energía potencial = constante
donde R es el radio de la esfera, G la
constante newtoniana de gravitación y M es la masa que
se encuentra en el interior de la esfera elegida. Según
las observaciones disponibles hasta el momento podemos afirmar
que una esfera del orden de unos pocos centenares de Mpc
cumpliría esa condición de homogeneidad
e isotropía con gran precisión.
Podemos poner la masa del interior de la esfera en
función de la densidad media r
como M= 4/3 p r R3,
y la velocidad de expansión como v=dR/dt. Eligiendo
adecuadamente el valor de la constante relacionada con la energía
obtenemos la siguiente ecuación (ec.1) para la
evolución del parámetro R(t):
v2 = [dR/dt]2 = 8/3 p G r R2 - K c2 [ec. 1]
Donde c es la
velocidad de la luz. Ahora la nueva constante adimensional K
que aparece en la ecuación anterior está relacionada
con la geometría del universo. Por
supuesto, ésta no tiene más interpretación en la
aproximación newtoniana que la de una mera constante de
integración (asociada a la energía por unidad de masa
de una partícula como una galaxia). Sin embargo, esta última
ecuación diferencial es exactamente la misma que se hubiera
obtenido de un tratamiento rigurosamente relativista, donde la
constante K sí que tiene un significado preciso:
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Representación del parámetro de expansión a frente al tiempo en los tres casos de universos posibles con geometría trivial. Expansión eterna (K£0) y futura contracción (K>0). Se acompaña de una analogía bidimensional del tipo de geometría implicada. |
Universos con K£0 se denomina abiertos. La constante K está íntimamente relacionada con la densidad media de materia del universo. Si hallamos el valor de la densidad para la cual K = 0 obtenemos, por sustitución en la ec.1 y simplemente despejando:
donde H(t) no es más que la constante de Hubble para cualquier instante t del universo , es decir H = v/R. Ésta es la denominada densidad crítica. En el presente del universo, la densidad crítica es
r0 = 3H02/8pG = 1.8791 h2 10-29 g/cm3
siendo h la constante de Hubble en unidades de 100 km/s/Mpc. En términos más intuitivos, esta densidad corresponde a una densidad tan baja como la de la masa de 5-6 átomos de hidrógeno por metro cúbico.
Se suele definir un parámetro de densidad W como la relación entre la densidad del universo en unidades de la densidad crítica (W = r/r0) . Si la densidad de materia actual del universo es igual a la densidad crítica, en otras palabras, si W = 1, estamos en el caso de un universo de geometría espacial plana. Éste es el denominado modelo de Einstein-de Sitter y es el más sencillo de todos los posibles. Sin embargo, aunque las observaciones actuales apuntan a un universo plano con W = 1, también apuntan a que la componente principal del universo no es materia, sino algún tipo de energía oscura todavía por determinar.
A veces nos puede confundir el término R(t), puesto que en principio su elección es arbitraria. En un universo cerrado de geometría espacial esférica se podría relacionar con el "radio del universo", pero en los otros dos casos esta noción tiene aún menos sentido si cabe. Se suele arreglar esta posible confusión haciendo
R (t) = a(t) R
Donde a(t) es un factor adimensional que se conoce como parámetro de expansión o factor de escala, y que ya no depende de los objetos concretos que se elijan.
Podemos definir a(t0) = 1, donde t0 es el momento presente y fácilmente llegar a la ecuación de evolución del parámetro de expansión, siguiendo la ec.1.
(da/dt)2 - 8/3 p G r a2 = constante
Denominada muchas veces Ecuación de Friedmann.
y que se suele expresar como
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r - K c2/a2
Otra ecuación fundamental en el estudio de la dinámica proviene del la primera ley de la termodinámica (principio de conservación de la energía). Para un volumen V = 4/3 p a3R3 que contiene una masa M, tenemos que la energía interna viene dada por
E =M c2 = r V c2
Siendo r la densidad media en el volumen V y c la velocidad de la luz. Para una expansión adiabática (sin intercambio de calor) de dicho volumen tiene que cumplirse el primer principio de la termodinámica de tal forma que la variación de la energía interna sea igual al trabajo realizado por la expansión (*).
dE/dt = -p dV/dt Þ d/dt (r c2 a3) = - p d/dt (a3) Þ dr/dt = -3 H ( r + p/c2)
Que
es otra ecuación importante.
Conocidad entonces
la presión en función de la densidad, lo que se
denomina ecuación de estado p = p(r),
podemos resolver las ecuaciones y hallar todos los parámetros
relevantes en función del tiempo, es decir a(t), H(t), r(t)
y p(t)
Las ecuaciones de
estado más típicas corresponden a:
Tipo m) Polvo o materia fría.
p/c2
<< r
Tipo
r) Radiación o materia caliente.
p = 1/3 r
c2
Tipo
l) Constante
cosmológica
p = - r
c2
Tipo Q) Quintaesencia
p = w
r c2
con -1< w <0
Ejercicios:
1. ¿Qué carácteristicas podría deducir el lector en un primer vistazo de las ecuaciones en un universo vacío de materia y con constante cosmológica?
(*) Aunque hemos derivado la ecuación correcta de esta manera relativamente sencilla, los razonamientos que impliquen conservación de la energía en un universo en expansión no están libres de problemas conceptuales (Harrison, Edward. 1995). El lector debería recordar que toda nuestra deducción está basada en argumentos newtonianos, a pesar de que el universo en expansión es un modelo que sólo tiene sentido dentro de un marco puramente relativista aunque las ecuaciones que se obtienen de la solución directa de las ecuaciones de campo de Einstein sean idénticas a las que aquí hemos obtenido (ver Tipler 1996 para detalles con respecto a por qué funcionan los argumentos newtonianos).
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