La constante cosmológica
fue introducida inicialmente por Einstein en sus ecuaciones
de campo de la Relatividad General para poder modelar un universo
estático homogéneo
con simetría esférica. En aquella época (a
finales de la segunda década del siglo) todavía no se
conocía la expansión del universo, por lo que Einstein
se vio obligado a introducir un efecto repulsivo (a veces denominado
"antigravitatorio") que compensara la tendencia
gravitatoria al colapso que se produciría en un universo
estático. Con el descubrimiento de la
expansión del universo por Hubble, el término
pareció superfluo a Einstein, que lo consideró como "la
mayor pifia" de su obra científica. Sin embargo, algunos
teóricos siguieron acogiendo el resultado, porque era el único
término consistente que se puede añadir a las
ecuaciones
de campo de la Relatividad General sin que éstas pierdan
su coherencia*.
El
interés volvió a resurgir con las teorías
cuánticas de campos, pues éstas predicen una densidad
de energía de vacío que se puede comportar, a todos
los efectos, como una constante cosmológica efectiva. Además,
durante los primeros años de la década de los 80 se
empezó a poner de moda los escenarios
inflacionarios de los primeros instantes del universo que
proponen un valor bastante elevado de la densidad de energía
de vacío. Veamos a grosso modo cómo funciona
esto:
El principio de incertidumbre de Heisenberg permite la formación de pares virtuales partícula-antipartícula de masa m durante intervalos de tiempo del orden de h/(mc2), siendo h la constante de Planck y c la velocidad de la luz. Estos procesos implican que el vacío debe tener una densidad de energía diferente de cero que a veces se denomina "energía del punto cero". Existen evidencias experimentales indirectas de la existencia de esta densidad de energía de vacío a través de lo que se conoce como el efecto Casimir.
Pero, ¡¿cómo puede el vacío pesar algo?!.Si tenemos un pistón "lleno de vacío" y tiramos del émbolo, crearemos más vacío que por tanto contendrá una mayor "energía de vacío" que sólo habrá podido ser suplida por la fuerza que movió el pistón. En el proceso, la densidad de energía de vacío debe ser por supuesto una constante, puesto que no puede depender de ningún parámetro, ya que en el vacío ¡no hay nada de lo que pueda depender!. Cuando hacemos el experimento más habitual con un gas en el interior del pistón, baja la presión del gas. En este proceso "bajar la presión" implica enfriamiento y por tanto "disminución de la energía interna del gas". En el caso de un gas dentro de un émbolo situado en el vacío, el gas realiza trabajo sobre el pistón y por ello pierde energía interna. En el caso del vacío ocurre lo contrario, por lo que "algo" tiene que realizar trabajo sobre el sistema y por tanto tenemos que calcular la presión como negativa.
La presión relativista en este caso se puede calcular como (demostración)
P = - rvacío c2
Donde r vacío es la densidad de masa del vacío calculada a partir de la relación relativista
E = m c2
Pero en Relatividad General, la energía tiene "peso" y por tanto la presión. Así que la aceleración g (en la aproximación Newtoniana) vendrá dada por:
g = 4/3 p G (rmateria+rvacío+ 3 P/c2) R -2
El factor 3 puede ser entendido como el hecho de que podemos tener un flujo de momento que ejerce presión en cada una de las tres direcciones del espacio.
Para un modelo estático de universo como el propuesto por Einstein, g = 0 y por tanto
r vacío = 0.5 r materia
Aparte del hecho de que observacionalmente el universo está en expansión, el Universo estático de Einstein es inestable ante colapso o expansión, de la misma manera que un lápiz apoyado sobre su punta está en una posición de equilibrio inestable (un análisis reciente más exhaustivo propone que la situación es algo más compleja. Barrow et al. 2003).
Es matemáticamente algo
complejo demostrar que el nivel fundamental de un sistema de
partículas
virtuales como el vacío tiene una energía finita
(ver sin embargo Carrol,
Press & Turner 1992), y no hay ningún mecanismo
conocido que obligue a esta energía a ser igual a cero, aunque
existen ciertas propuestas como supersimetría.
De una manera estimativa podemos dar un orden de
magnitud de la densidad de energía del vacío esperando
la contribución de una partícula en un volumen
correspondiente a su longitud
de onda compton, esto es:
rvacío = M4c3/h3 = 1013 [M / masa del protón]4 g/cm3
Para la partícula más masiva que cabría esperar, la masa de Planck, de unos 20 microgramos, esta energía es de unos 1091g/cm3. El contraste observacional del universo a gran escala ponen un límite superior del orden de la densidad crítica ( unos 10-29 g/cm3). Al ver estos números se suele decir que tendría que existir algún mecanismo de supresión muy efectivo que disminuyera su valor en al menos ¡120 órdenes de magnitud!. Pero si tenemos en cuenta que la densidad de vacío es proporcional a la cuarta potencia de una masa, quizás sería más apropiados poner que
Mvacío (esperada) / Mvacío(observada) ~ 1030
un factor no tan espectacular como el anterior pero lo suficientemente grande como para considerarlo el problema más serio de la física teórica actual.
La ecuación dinámica de un universo con término cosmológico l (ec.1) se puede escribir como:
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r + l/3 - K c2/a2
Es habitual definir los siguientes parámetros de densidad:
parámetro de densidad de materia Wm = 8/3 p G r/H2
parámetro de densidad de energía de vacío Wl = l/(3H2)
parámetro de densidad debido a la curvatura Wk =- K c2/H2
Cumpliéndose obviamente que Wm + Wl + Wk = 1
La solución para el
parámetro de expansión en
función del tiempo a(t) requiere de una integración
numérica. En la figura a continuación se representan
algunos casos
|
|
Veamos ahora cómo se modifica la edad del universo en función de los parámetros de densidad en el momento presente Wm0 y Wl0
Representación de contornos de la misma edad del universo para distintos parámetros de densidad. La línea azul separa universos cerrados (K>0) de universos abiertos (K£0). La línea verde universos que terminarán por colapsar en una gran implosión (Big Crunch) de universon en eterna expansión. La línea roja separa los universos eternos sin Big Bang. La línea roja es una línea crítica que se denomina "universos indecisos" que ahora están es expansión exponencial pero que en un momento del pasado estuvieron "indecisos" entre colapsar debido a su contenido de materia o a expandirse debido al efecto de la constante cosmológica, con lo que permanecieron un tiempo con un parámetro de expansión constante.
El punto inferior en la línea azul corresponde al modelo que parecen señalar las observaciones actuales.
Una manera de buscar una densidad de energía de vacío no nula es estudiando las órbitas de partículas que se mueven en un campo gravitatorio de masa conocida. El Sistema Solar es el mayor sistema gravitatorio donde conocemos con suficiente exactitud cuáles son las masas, por lo que podemos comprobar cuidadosamente cómo se ajusta la tercera ley de Kepler a las observaciones. Para una densidad de energía de vacío muy pequeña, tenemos, que la variación relativa del periodo orbital de un planeta es
dP/P = (4 p /3) R3rvacío / MSol
Esto sólo puede comprobarse para planetas de los que se tenga una medida independiente de la distancia al Sol. El Voyager permitió medir con precisión la distancia a Urano y Neptuno, y Anderson et al. (1995, ApJ, 448,885) encontraron que dP/P es menor que unas 2 partes por millón a la distancia de Neptuno. De esto se deduce que
rvacío < 2 10 -17 g/cm3
La constante cosmológica produce además una precesión del perihelio del planeta (Cardona & Tejeiro 1998, ApJ, 493, 52) dado por 3 (4 p /3) R3rvacío / MSol ciclos por órbita. Puesto que los datos de los Viking son tan precisos, un buen límite puede ser obtenido como
rvacío < 2 10-19 g/cm3
En sistemas mayores no podemos hacer verificaciones de algunas partes por millón. En el caso de la órbita solar alrededor del centro galáctico, uno sólo puede decir que la densidad de energía de vacío tiene que ser menor que la mitad de la densidad media de materia en una esfera centrada en el Centro Galáctico que se extienda hasta la distancia a la que se halla el Sol. Si la densidad de energía del vacío fuera mayor que esto, no existiría aceleración centrípeta del Sol hacia el Centro Galáctico. Pero como uno calcula la densidad media de materia asumiendo que la densidad de energía de vacío es cero, debe ser conservador y quitar el un medio y decir que:
rvacío < (3/(4 p G))(v/R)2 = 3 10-24 g/cm3
para una velocidad circular v = 220 km/sec y una distancia R = 8.5 kpc
El mejor límite superior para la densidad de energía del vacío viene del mayor sistema posible: el Universo entero. La densidad de energía del vacío lleva a una aceleración en la expansión del universo. Si ésta fuese mayor que la densidad crítica, el Universo no hubiera pasado por una fase de alta densidad y temperatura cuando el factor de escala fuese cero: el Big Bang (ver figura). Como sabemos que esto fue así (ver evidencias observacionales del Big Bang), se requiere que el universo observable fuera al menos un billón de veces más pequeño en el pasado de lo que es ahora. Esto limita la densidad de energía del vacío a
rvacío< rcrítica ~ 8 10-30 g/cm3
En Marzo de 1998, salían en prensa (Science 1998, 279, 651-652 y 1298; Perlmutter et al.1997, A.G. Kim 1998, Schmidt et al 1998, Riess et al. 1998) los trabajos de dos grupos independientes que trabajan en Supernovas Ia. Los resultados de ambos son consistentes con una densidad de energía de vacío
rvacío~ 0.75 rcrítica = 6 10-30 g/cm3
Una revisión de todas las medidas que indican la existencia de una constante cosmológica puede ser visto aquí.
El problema con la constante cosmológica se puede dividir en dos cuestiones fundamentales que hoy por hoy no tienen una respuesta dentro de la física y de la cosmología estándar. Estas dos cuestiones son:
1. ¿Por qué la espectativa de los cálculos cuánticos para la energía de vacío es de unos 1091 g/cm3, mientras que el valor observado pone un límite superior de unos 10-30g/cm3?. ¿Podría existir algún mecanismo desconocido (del tipo de la supersimetría) de supresión muy efectivo que disminuya su valor en al menos 120 órdenes de magnitud?. (ver Sean Caroll 2001 para algunas posibilidades)
2. ¿Por qué el valor observado de la constante cosmológica contribuye a una densidad de energía cósmica del mismo orden de magnitud que la contribución de la materia?. ¿Por qué habríamos de vivir en una época del universo donde se da esta (a priori) improbable coincidencia?.
Hasta hoy sólo se ha dado una posible respuesta a estos dos grandes interrogantes. Los ingredientes de esta respuesta son por un lado el escenario de Inflación Caótica y por otro lado el polémico Principio Antrópico Débil. En un universo formado por un número arbitrariamente grande (quizás infinito) de universos en expansión como ocurre de forma natural en los escenarios de inflación caótica resulta un hecho trivial (Principio Antrópico Débil) que los habitantes que estudian la estructura a gran escala del universo sólo puedan hacerlo desde aquellos universos cuyo valor de la constante cosmológica no sea lo suficientemente pequeño para que las fluctuaciones originales en la densidad no se diluyeran antes de tener tiempo a formar las estructuras galácticas y por tanto fuera posible la aparición de la vida y posteriormente de los astrónomos que han observado este hecho. Steven Weinberg (ver Weinberg, S. 1996) efectivamente ha calculado que el valor esperado de la constante cosmológica con este tipo de argumentación cae dentro del rango de las observaciones, una predicción asombrosa del Principio Antrópico Débil.
La ley del inverso del cuadrado de la distancia implica dos propiedades básicas de la gravedad newtoniana
I. La atracción gravitatoria de una masa esférica sobre una partícula situada fuera de dicha esfera es indistinguible de la producida por una masa puntual de la misma magnitud situada en el centro de la esfera.
II. La fuerza de atracción sobre una partícula situada en interior de una esfera es igual a la producida por la esfera interior a la situación de la partícula. En otras palabras, una distribución esférica de masa no influye en puntos de su interior (ver una demostración sencilla de este hecho).
En términos más precisos podemos decir que considerando un cascarón esférico de radio R, de anchura infinitesimal y densidad superficial de masa s , tenemos que un punto exterior situado a una distancia r está sometido a un potencial gravitatorio f(r). Para que este potencial gravitatorio sea exactamente igual al de una masa puntual M(R) colocada en el centro de la esfera debe cumplirse que (ver por ejemplo Feynman Vol I. §13-4)
M(R) f(r) + L(R) = 2 p s R/r òr-Rr+R x f(x) dx
Donde L(R) es una posible constante añadida al potencial que no cambia la ley de fuerzas. La propiedad I implica que M(R) = 4 p s R2 sólo si se cumple que el potencial tenga la forma general
f(r) = A/r + B r2 + C
con 2 C R + 2 B R2 = L (R)
Entonces uno sólo recupera
el potencial clásico newtonianos (B = 0) imponiendo la
condición II.
El segundo término B r2 es
el equivalente newtoniano de una constante cosmológica y como
vemos surge en la gravitación clásica de manera natural
con sólo relajar la condición II.
Por supuesto, Newton nunca llegó a este resultado puesto que
su forma de razonamiento fue realizada de forma inversa. Newton
apostó desde el principio por la ley del inverso del cuadrado
de la distancia y posteriormente demostró que ésta
tenía la propiedad I. De hecho, no publicó
su teoría hasta que se hizo con tal demostración.
Carroll,
Press & Turner 1992. The cosmological constant.
Sean
Caroll 2001. "The Cosmological Constant",Living Rev.
Relativity, 4, (2001).
THE
COSMOLOGICAL CONSTANT por Sean
M. Carroll
The
Cosmological Constant por Eli
Michael
What
is this "anti-gravity"? [The cosmological constant]
perteneciente al Ned
Wright's Cosmology Tutorial
* Las ecuaciones de Einstein con constante
cosmológica son las ecuaciones más generales que se
pueden escribir que cumplen los siguiente criterios:
1. Son covariantes, es decir, su forma es independiente del sistema de referencia elegido (con o sin aceleración) y de las coordenadas seleccionadas.
2. Se reducen a la teoría newtoniana de la gravedad cuando los campos gravitatorios son débiles y las velocidades implicadas bajas en comparación con la velocidad de la luz.
3. Sólo introducen derivadas de orden 0, 1 y 2 de la métrica.
Ver Weinberg, S. "Gravitation and Cosmology". Wiley. 1972 pag. 153
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