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El Universo de Einstein-de Sitter es un caso particularmente sencillo de un universo de materia fría no relativista donde la tendencia a la expansión y la atracción gravitatoria están en un punto crítico, de tal manera que la energía total es cero. Aunque actualmente este modelo está prácticamente descartado por las observaciones, su manipulación matemática es de tal simplicidad que nos sirve como ejercicio de gran utilidad para entender cómo se relacionan los distintos parámetros en cosmología.
En las condiciones de expansión crítica, la ecuación de Friedman se convierte en
v2 = H2 a2 =(da/dt)2 = 8/3 p G rcrit a2 [ec. 2]
Donde hemos utilizado la relación
velocidad-distancia de la forma
v =
(da/dt) = H a
Por
supuesto, se tiene que cumplir para cualquier tiempo, y en particular
en el momento actual t0 obtenemos:
H02 = 8/3 p G rcrit
Donde rcrit es la denominada densidad crítica
rcrit = 3 H02 / (8 p G) = 1.879 h2 10-29 g/cm3
donde se suele hacer h = H0
/100.
En
un universo de Einstein-deSitter tenemos una ecuación
de estado de tipo m. Por tanto, la masa dentro de un
volumen determinado permanece constante. Como la densidad es
inversamente proporcial al volumen, que a su vez es proporcional al
cubo del parámetro de expansión
a3 , la relación ec.2
se satisface para un parámetro de expansión
proporcional a t2/3, y por tanto
a(t0)/a(t) = (t0 / t)2/3 = 1+ z
donde z es el desplazamiento al rojo y t0 es el tiempo transcurrido desde el Big Bang como medido por el observador.
Estamos haciendo la interpretación estándar de la expansión
1 + z = lo/l = a(t0)/a(t)
siendo lo la longitud de onda en el momento de la observación, l la longitud de onda en el instante de emisión, a(t0) el factor de escala en el momento de la observación (definido tal que a(t0) = 1) y a(t) el factor de escala en el momento de emisión. Es decir, que la longitud de onda crece con la expansión del universo de manera proporcional al incremento del parámetro de expansión (factor de escala).
Además sabemos que, según la relación velocidad-distancia,
H (t) = v/a = 1/a (da/dt) = d (ln a) / dt = 2/(3 t)
Y por tanto, el tiempo de expansión en la actualidad en este modelo es
t0 = 2/ (3 H0) = 6.52 h-1 Gigaaños
Para determinar el tiempo en el que observamos una galaxia de desplazamiento al rojo z sólo tenemos que hacer
t = t0 (1+ z)-3/2 = 6.52 h-1 (1+ z)-3/2 Gigaaños
También es interesante calcular el valor de la constante de Hubble H(z) a un desplazamiento al rojo z
H (z) = 2/(3 t) = {2 / (3 t0)} (1+ z)3/2 = H0 (1+ z)3/2
Lo que significa claramente que en un modelo de este tipo la expansión del universo era más rápida en el pasado que en la actualidad en un modelo de este tipo.
Ejercicios
1. Derive el lector la forma del incremento de la densidad con el desplazamiento al rojo.
2. Calcular la edad del universo en este modelo para una constante de Hubble de 70 km/s/Mpc. ¿Es compatible con las medidas de la edad de los objetos que contiene el universo?.
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