Cuando en un espacio Euclídeo bidimensional, tal y como podría ser una hoja de papel, calculamos la distancia entre dos puntos de cordenadas cartesianas (x0, y0) e (x1, y1) utilizando el teorema de pitágoras
S212 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2
Que se puede espresar en forma diferencial (en el límite de puntos muy próximos) como
ds2 = dx2 + dy2
Esta es la distancia euclídea o elemento de línea del espacio euclídeo. A veces es llamada métrica, pero la métrica en sentido técnico es un objeto matemático más abstracto: un tensor.
Por supuesto que la elección de las coordenadas cartesianas es un hecho arbitrario. Podríamos haber elegido coordenadas polares (r, q ) de tal manera que el elemento de línea se puede escribir de la forma
ds2 = dr2 + r2 dq 2
Veamos cómo podemos dar una medida de
longitud entre dos puntos situados sobre una esfera (tal y como
ocurre en nuestro planeta). Elijamos las coordenadas usuales de
longitud y latitud (q ,
j ). Para dos puntos
arbitrariamente cerca (q ,
j ) y (q
+dq ,
j +dj
) podemos movernos en latitud a lo largo de
un meridiano una distancia R dq
y a lo largo de un paralelo una distancia R
senq dj
hasta alcanzar el punto. La distancia para ir
entre los dos puntos siguiendo el círculo máximo que
los une directamente es entonces
ds2 = R2 dq 2 + R2 sen2q dj 2
Es el factor sen2q el que hace tan diferente a una esfera de un plano.
Integrando la distancia ds entre dos puntos separado una distancia finita, tenemos la longitud de un círculo máximo, que representa la distancia más corta entre esos dos puntos (geodésica) en una esfera. En la figura 1 se pude ver una geodésica que podría representar perfectamente la trayectoria de un avión que vuela entre dos ciudades del planeta.
Figura 1.
Este es el elemento de línea de una esfera en coordenadas esféricas apropiadas. Una manera de representar una esfera es mediante una proyección sobre un plano, conocida como proyección estereográfica (ver figura 2.), por razones obvias
Figura
2.
La coordenadas (x,y) en el plano proyectado de un punto de coordenadas esféricas (q , j ) estarán relacionadas de la siguiente manera
x = 2 R tag (q /2) cosj
y = 2 R tag (q /2) senj
El elemento de línea de la esfera en estas coordenadas sería entonces
ds2 = [dx2 + dy2] [1+ (x2+y2)/4] -2
La proyección estereográfica representa la superficie finita de una esfera en un mapa plano de dimensiones infinitas. Tiene la interesante propiedad de no distorsionar las figuras. Así, círculos en la esfera se convierten en círculos en el mapa, y no por ejemplo en elipses.
Existen otro tipo de proyecciones muy conocidas en geografía. Quizás la más famosa es la de Mercator. La proyección de Mercator es una proyección cilíndrica modificada para que sea posible que una línea de rumbo Sur-Este por ejemplo sea una línea recta, lo que facilitaba el trabajo de los marineros al mirar un mapa. Todos conocemos el efecto de distorsión que produce este tipo de proyecciones. En la figura 3 se representa a la izquierda la superficie esférica de la Tierra y a la derecha una proyección de Mercator de la misma.
Figura 3.
En un mapa plano de la superficie terrestre las geodésicas (o círculos máximos) sobre la superficie terrestre toman la forma que se puede ver en la figura 4 para dos de ellas. Eso significa que por ejemplo un avión que quisiera viajar entre dos puntos de la superficie terrestre cubriendo la menor distancia posible debería hacerlo siguiendo alguna de las líneas rojas.
Figura 4.
Existe un tipo de métrica de una variedad más abstracta de espacio bidimensional que tiene la siguiente forma en las coordenadas (x,y) anteriores
ds2 = [dx2 + dy2] [1- (x2+y2)/4] -2
que se diferencia de la de la esfera sólo en el signo que aparece en el denominador. Esto nos lleva a un posible generalización del tipo
ds2 = [dx2 + dy2] [1+ k (x2+y2)/4] -2
donde
para K = 0 se reproduce el espacio euclídeo plano, para
k = 1 tenemos la esfera, y para K = -1 el tipo de
espacio anteriormente mencionado. Por razones obvias, el espacio
euclídeo se dice un espacio de curvatura nula, la esfera uno
de curvatura positiva y los espacios del último tipo de
curvatura negativa. Un espacio que se suele poner como ejemplo de
espacio de curvatura negativa es una silla de montar (ver figura
5.).
Figura 5.
En relatividad especial es más conveniente hablar de espacio-tiempo, más que de ambos por separado. Para ello se usa el siguiente elemento de línea
ds2 = c2 dt2 - [dx2 + dy2+ dz2]
que puede en cierta manera entenderse como un espacio-tiempo euclídeo donde la cuarta coordenada es el número imaginario i c t, donde c representa la velocidad de la luz.
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Si eliminamos la coordenada z para poder hacer una representación, tenemos una imagen como la de la figura 6. El eje vertical (que no está pintado) representaría la coordenada ct y el plano que sería perpendicular al plano de la imagen representaría el plano de las coordenada x e y. El cono pintado de rojo representan los rayos de luz que salen del observador en la dirección del futuro y que llegan al observador desde el pasado. Los rayos de luz recorren las geodésicas de tipo nulo (ds = 0). Las trayectorias de cualquier partícula material tiene que estar necesariamente dentro de los conos de luz (principio de causalidad). La trayectoria de cualquier observador en reposo con respecto al sistema de referencia considerado se representa como una línea de mundo tal y como se ve a la derecha en la figura 6. |
Figura 6. |
A modo de breve recordatorio solamente decir que en una representación de Minkowski, un sistema de referencia (x',t') que se mueve con velocidad v se representa como un sistema no ortogonal en el sistema de referencia inercial (x,t) donde se sitúa el observador
El ángulo q es tal que se cumple
Tan q = c/v
En coordenadas esféricas, el elemento de línea relativista toma la forma
ds2 = c2 dt2 - dr2- r2 [dq 2 + sen2q dj 2]
El principio cosmológico restringe la métrica del Universo a gran escala a tres posilidades que podemos escribir (usando ascención recta a y declinación d como coordenadas esféricas y r y t como coordenadas comóviles). Las coordenadas comóviles son etiquetas que ponemos a cada galaxia que pueden ser entendidas de tal manera que r es asignada a una galaxia para que cumpla la relación v = H r donde v es la velocidad de la galaxia y H la constante de Hubble en el tiempo asignado t. El tiempo t puede ser entendido como el tiempo transcurrido desde la singularidad inicial. De forma general, el elemento de línea puede entonces ser escrito:
ds2 = c2 dt2 - a2(t) R02 [ (1- k r2)-1 dr2- r2 [dd 2 + cos2d da2]
Donde el parámetro k, como se vió antes para espacios bidimensionales "sencillos" puede tomar los valores k = 0 (espacio de curvatura nula), k = +1 tenemos un espacio de tipo esférico cerrado y para k = -1 un espacio abierto de curvatura negativa. R0 es el radio de curvatura que tiene que ser el mismo en cualquier lugar del espacio por la condición de homogeneidad. El radio de curvatura está relacionado con la constante de Hubble H0 y la densidad del universo W (que incluye las contribuciones de materia, radiación, y densidad de energía de vacío):
R0 = c H0-1 (½ W - 1½ )-1/2
a(t) es el parámetro de expansión.(Ver dinámica de la expansión).
En el caso de un universo de densidad crítica W =1, el radio de curvatura es infinito y el elemento de línea toma la forma
ds2 = c2 dt2 - a2(t) [ dr2- r2 [dd 2 + cos2d da2]
En un diagrama espacio tiempo para el caso de Universo de densidad crítica W =1 en coordenadas comoviles r (horizontal) y t (vertical) sería:
Donde podemos observar las líneas de mundo de los observadores comoviles situados en galaxias típicas que parten de un punto común (el Big Bang o singularidad inicial), y que son curvas debido a la desaceleración del universo (r a t2/3). La línea roja representa el cono de luz pasado del observador que se toma como en reposo en este sistema, y es en todo momento tangente a los conos de luz. La distorsión en la forma de los conos de luz de los observadores comóviles se debe al efecto de la gravedad.
Hay que tener en cuenta que cualquier diagrama espacio-temporal que eligamos para representar un punto de vista del universo siempre estará distorsionado por el efecto inevitable de la elección de coordenadas. Pero al igual que se hacía en la proyección de Mercator, es interesante estirar o encoger el diagrama para obtener algo más intuitivo. Por ejemplo, podemos dividir la coordenada espacial r por a(t) y obtener lineas de mundo perfectamente verticales para todos los observadores comoviles (galaxias típicas), aunque con una distorsión de los conos de luz que aumenta a medidad que nos acercamos al Big Bang de tal manera que este pasa de un punto a una línea límite horizontal, tal y como ocurría con los Polos de la Tierra en la proyección plana de la superficie de la Tierra.
Una imagen que cubre una parte más amplia sería
Y si por último estiramos el tiempo en el eje vertícal, de tal manera que recuperemos un cono de luz pasado formado por trayectorias luminosas rectas, obtenemos la siguiente representación
Por último deberíamos recordar que un universo de densidad crítica es espacialmente infinito y representar, para mayor claridad, una sección más amplia
Este tipo de diagramas es conocido como diagrama espacio-temporal "conforme"
Resulta entonces interesante a veces introducir la coordenada conocida como "ángulo hiperbólico" Y de tal manera que se cumpla:
dY = (1- k r2)-1/2 dr
quedando el elemento de línea como
ds2 = c2 dt2 - a2(t) R02 [ dY 2- f(Y ) [dd 2 + cos2d da2]
donde
f(Y ) = sen2Y para k = 1
f(Y ) = Y2 para k=0
f(Y ) = senh2Y para k = -1
El elemento de línea en función de las coordenadas "conformes" (tiempo conforme h y distancia "comforme" r) del diagrama espacio-temporal "conforme" sería entonces
ds2 = a2(t) {dh2 - R02 [ dr 2- R02 f(r R0-1 ) [dd 2 + cos2d da2]}
con dh = a-1(t) c dt = (1+z) c dt y dr = R0 dY
En esta representación, la ecuación de los rayos luminos son las rectas
r = r0 ± (h-h0)
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