Esfera en expansión

    Imaginemos una esfera como La Tierra cuyo radio aumenta con el tiempo (es decir, en expansión) y que representaremos como R(t), siendo R(t0) el radio en un determinado momento (por ejemplo el radio actual R(t0) = 6371 Km).
    Las coordenadas de un lugar sobre La Tierra dadas como su longitud y latitud son extremadamente convenientes de utilizar en este caso porque la expansión de la Tierra no cambia la posición relativa de los "lugares". Sólo los aleja unos de otros. Este tipo de coordenadas serían entonces comóviles con la expansión. Por supuesto la expansión de la Tierra sería un problema en un caso realista por los desgarrones del material que la forman. Cuando el lector tenga algún problema con esto le invito a imaginar la superficie de la Tierra como un grupo de canicas independientes que pueden alejarse unas de otras.
    Supongamos un observador situado en el polo norte. Este observador mide la distancia D a cualquier otro lugar de latitud Dq  utilizando una línea de longitud constante, es decir, un meridiano. Dicha distancia no sería más que

D(t) = R(t) Dq

donde Dq  no sería más que la diferencia de latitud entre el observador y el lugar del que desea conocer su distancia.
    Definamos ahora un factor de escala de la expansión (o parámetro de expansión) como la relación entre el radio de la Tierra en cualquier instante y el radio en un momento concreto

    a(t) = R(t)/R(t0)

Con esta definición debe cumplirse que

D(t) = a(t) D(t0)

    D(t0), la distancia entre el observador y el lugar elegido, es lo que se denomina distancia-coordenada.
    La velocidad de alejamiento de un determinado lugar puede determinarse como

    v = dD/dt = da/dt D(t0) = [1/a da/dt] D(t)

    Si llamamos a la cantidad entre corchetes H(t) tenemos una relación velocidad-distancia de la forma

v = H D

    El lector seguramente ha pensado que H es una especie de constante de Hubble para este modelo de La Tierra en expansión y está en lo cierto.
Así que le invito a medita sobre cómo hemos llegado hasta esta relación y cómo sólo hemos practicado una especie de "juego" más bien trivial de definiciones. También le invito por último a demostrar que podemos escribir tranquilamente que da/dt = H a, siendo a(t) el parámetro de expansión.
    Veamos también algo interesante. Imaginemos un observador situado en el Polo Sur. Su latitud diferiría en p de nuestro observador en el Polo Norte. La distancia en cualquier instante sería D(t) = p R(t) y la velocidad de alejamiento estaría dada por v = dD/dt = p dR/dt
Imaginemos una Tierra en expansión de tal forma que el radio de la tierra aumente cada dos años transcurridos un año luz. Eso significa que dR/dt = c/2
siendo c la velocidad de la luz.
    De la relación entre distancia superficial y radio, deducimos que la primera tiene una velocidad de aumento de v = p c/2 que es algo más de una vez y media la velocidad de la luz. ¿cómo puede ser esto?. ¿No decía Einstein que ningún objeto puede alejarse de otro a mayor velocidad que la velocidad de la luz?. ¿Dónde nos hemos equivocado?.
    En realidad el aumento de la distancia entre dos objetos como visto por un observador tiene un límite de 2 c, cuando ambos objetos se alejan a la velocidad de la luz en sentidos opuestos.
    La respuesta es que todo es correcto. Recuerde el lector que sólo estamos jugando con definiciones. Por supuesto que la Tierra no se puede expandir de esa forma sin provocar rupturas catastrófica del material. Pero imagine el lector como antes una esfera de pequeñas canicas independientes unas de otras que sustituyan a la esfera terrestre. No hay ningún problema en que la distancia entre una canica situada en el centro y una canica en un extremo de la esfera se alejen entre sí a la mitad de la velocidad de la luz. ¿Pero qué significa el aumento de distancia medida a través de todas las canicas de la superficie de la esfera?. No hay nada que impida que esa distancia aumente más rápido que la velocidad de la luz, puesto que lo que importa es la distancia entre dos canicas medida a través del espacio intermedio (una geodésica en el espacio físico). En otras palabras, nuestra distancia D y su velocidad asociada v = dD/dt son meras definiciones convenientes que no están sujetas a límites físicos.

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