La gravedad en el interior de los planetas

La ley de gravitación de Newton contiene una característica que puede parecernos incómoda. La fuerza tiende a hacerse infinitamente grande cuando nos acercamos mucho al centro de atracción. El absurdo aparece por el hecho de que estamos suponiendo que toda la masa que produce la atracción está situada en el mismo centro de atracción. En una sección anterior explicamos por qué esto debería ser así. La razón es que los efectos de la atracción de todas las partes del planeta se compensa de tal manera que, para todos los efectos, ésta se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en el centro. Pero, ¿qué ocurre si nos vamos aproximando hacia el centro de atracción de un cuerpo como La Tierra?. Obviamente habrá un momento en que no podamos acercarnos más sin penetrar en el interior. Si imaginamos la Tierra (por hacerlo más simple) como una cebolla de capas de materia, a medida que penetramos en su interior vamos dejando capas detrás nuestro. Las capas que quedan por debajo de nuestra posición se comportan como siempre, atrayéndonos hacia el centro como si se tratara de una nueva Tierra pero más pequeña. ¿Qué ocurre con la masa que vamos dejando atrás?. Bueno, tenemos una cantidad de masa que queda cerca de nosotros y una cantidad mucho mayor de masa que queda mucho más alejada de nosotros. Pero curiosamente, la distribución casi esférica de un cuerpo como La Tierra tiene una propiedad que aparece casi maravillosa. La masa alejada contribuye en total con la misma fuerza que la masa más cercana. Esto es porque la mayoría de la masa se encuentra lejos del punto considerado y la minoría de masa cerca, de tal forma que los efectos entre masa y distancia están balanceadas de tal manera que la fuerza neta que ejercen las capas externas a nuestra posición en el interior de la Tierra es nula (ver figura 23).

Figura 23

Según este resultado, en el centro de la Tierra no sentiríamos ningún tipo de fuerza de la gravedad, pues toda la masa que quedaría a nuestro alrededor tiraría igualmente de nosotros en todas direcciones, y la fuerza neta total sería nula. Por lo tanto vamos a establecer un principio que denominaré Milagro I de la gravedad:

Milagro I de la gravedad. En cualquier punto interior de una distribución esférica de masa, la fuerza de gravedad neta es la producida por la esfera de masa interior a nuestra posición tal y como si el resto de la masa externa a nuestra posición no existiera.

El uso del término milagro aquí lo hago por dos razones:

1. porque el resultado, a pesar de poderse demostrar exactamente, sigue siendo sorprendente

2. porque el lector tendrá que "tener fe" en el resultado sin que se le dé una demostración detallada (ver una cuasi-demostración sencilla)

Vamos a utilizar el resultado del Milagro I para ver cómo varía la aceleración de la gravedad a medida que nos adentramos en el interior de la Tierra. Según la ley de gravitación, la aceleración vendrá dada por

pero si suponemos que la densidad media r de la Tierra se mantiene aproximadamente constante, tenemos que la masa total M dentro de una esfera de radio r es

y por combinación de ambas tenemos que

Habíamos mencionado anteriormente, cuando estudiábamos el movimiento de un péndulo, que cuando la aceleración es proporcional a la distancia, como ocurre en nuestro caso, el movimiento es oscilatorio con un periodo de oscilación que corresponde a

Esto corresponde a un hecho bien curioso. Si abriéramos un túnel que atravesara la Tierra de lado a lado y soltáramos un objeto, este caería y saldría por el otro lado, pero volvería a caer y así sucesivamente. El tiempo que tardaría en ir y volver viene dado por la expresión anterior. Sustituyendo los valores de las constantes, obtenemos:

Por supuesto, la precisión de esta medida dependerá de lo buena que sea nuestra suposición de que la densidad de la Tierra se mantiene constante con la profundidad. Esto no es exactamente así, puesto que las medidas de las ondas sísmicas durante los terremotos muestran que existen capas con densidades diferentes.

Copyright 1996-2004 Pedro J. Hernández