Modelo de un sistema en expansión en un espacio-tiempo de Minkowski

    Pongamos un sistema de partículas en expansión radial dentro de una región. El elemento de línea en un espacio-tiempo de Minkowski en función de la coordenada radial inercial R y el tiempo T es

ds2 = c2 dT2 - dR2

    Ahora escojamos coordenadas comóviles (t, q )  para cada partícula que se mueve con velocidad constante v = dR/dT = R/T. Como la velocidad es constante, podemos elegir el ángulo que forma el sistema en reposo en la partícula con el sistema inercial (T,R)

q  = tanh-1  (v/c)

de tal forma que esta cantidad permanece constante.
El tiempo propio de cada partícula a lo largo de su línea de mundo sería

t = T (1 - v2/c2)1/2 = (T2 - R2/c2)1/2

Podemos así relacionar ambos tipos de coordenadas (invirtiendo las relaciones anteriores) como

R = c t senh q
T = t cosh q

Diferenciando e introduciendo en el elemento de línea, obtenemos

ds2 = -c2 dt2 + c2 t2dq 2

La distancia Dt entre dos partículas medida en el plano de simultaneidad t = constante sería entonces

Dt = òds (dt = 0) = c t Dq

Esta distancia crece a una velocidad

vt = dDt/dt =c  Dq

que como en el caso de la relación velocidad-distancia no tiene límite superior y puede ser mayor que 2c. ¿Cómo puede ser otra vez que no exista límite a la velocidad de alejamiento de dos partículas incluso en el marco de la relatividad especial?.
    La respuesta viene del hecho de que aunque el espacio-tiempo marco sea un espacio-tiempo de Minkowski, las coordenadas que estamos utilizando no son inerciales, que es el tipo de coordenadas utilizadas en relatividad especial. De hecho, el plano de simultaneidad t = constante no es en realidad un plano en las coordenadas inerciales (T,R), sino una superficie curva (hipérbola) dada por

(T2 - R2/c2)1/2 = constante

    La situación es perfectamente análoga a la que se daba en el caso del estudio de una esfera como La Tierra en expansión. Allí la distancia entre dos latitudes podía aumentar a una velocidad superlumínica, mientras que la velocidad de alejamiento el el espacio físico no podía ser nunca mayor que 2 c.
    Veamos si en este caso sucede lo mismo. En las coordenadas inerciales, la distancia D entre dos partículas será

    D = ( DR2 - c2DT2)1/2 = 2 c t senh (1/2 Dq)

que es ¡incluso mayor que la distancia Dt a través de la superficie curva t = constante!.
    ¿Cómo es posible?. En espacio-tiempos las geodésicas más cortas son siempre aquellas seguidas por los rayos de luz. La distancia Dt en el plano de simultaneidad t = constante es una superfice curva en el espacio-tiempo, mientras que la distancia D es una curva de tipo espacio. Por lo que la primera se acerca más a los rayos de luz y por tanto debe ser "más corta".
    Pero sí que se cumple siempre, como en el caso de La Tierra en expansión, que

    dD/dT = 2 c senh (1/2 Dq) {1 + 2 senh2 (1/2 Dq)}-1< 2 c

donde vemos además que

dD/dt = 2 c senh (1/2 Dq) =cosh (Dq) dD/dT = (1-v2/c2)-1/2 dD/dT

    Por lo que el hecho de tener una expansión del sistema aparentemente superlumínica en las coordenadas comóviles no inerciales puede ser visto como un efecto de dilatación temporal relativista.
    Este modelo es otro paso más para entender que las definiciones de distancias y velocidades en sistemas en expansión no es materia trivial, pero que una vez domesticado está libre de contradicciones, aunque aparezcan diferentes tipos de distancias y velocidades superlumínicas y que aún así no hay contradicciones con la relatividad especial. Sin embargo me gustaría acabar diciendo que el universo en expansión es un sistema que se entiende mejor si nos quitamos de la cabeza el intentar comprender la situación desde la relatividad especial.

Referencias recomendadas

Page D.N. 1993. No superluminar expansión of the universe
Kiang, T. 2003. Time, distance, velocity, redshift: a personal guided tour.
Tamara M. D. & Lineveaver C.H. 2001. Superluminar Recession Velocities

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