Universos dominados por radiación

    A medida que nos vamos a épocas más tempranas del universo, la densidad de materia r_m aumenta con la disminución del volumen como

r_m /r_m0  = [a(t₀)/a(t)]³ = (1+z)³,

    Donde el subíndice 0 siempre indica el presente. Sin embargo la densidad de energía de la radiación aumenta más rápidamente como (1+z)⁴. El factor adicional puede ser explicado por el hecho de que la longitud de onda de la luz evoluciona proporcionalmente al parámetro de expansión a(t) que es a su vez proporcional a (1+z), por lo que la frecuencia de la radiación (y por tanto su energía) aumenta con el desplazamiento al rojo z de la misma manera. Llegará un momento en que las densidades de energía de radiación (r_r) y de materia (r_m) sean del mismo orden. Esto ocurrirá para un desplazamiento al rojo tal que

r_r  = r_m Þ  r_m0 (1+z)³=r_r0 (1+z)⁴ Þ (1+z) = r_m0  / r_r0

La densidad de materia (en función de la densidad crítica) cae, según las observaciones, casi con entera seguridad en algún lugar entre W_m0 = 0.1 y W_m0 = 1.1
    La densidad de energía de radiación se puede calcular a partir de la temperatura del fondo cósmico de microondas. Después de la medidas de COBE, este valor se conoce con gran precisión, T₀ = 2,728±0,002 K . La densidad de energía de un campo de radiación con espectro de cuerpo negro en función de la temperatura es

u(T)  = 4 s /c T⁴

donde s = 5.67051 10^-08 ± 1.9 10^-12 W m^-2 K^-4 es la constante de Stefan-Boltzman y c la velocidad de la luz, y por tanto

u(T₀)  = 4.2 10^-14 J m^-3

    Sin embargo, existe además un fondo de neutrinos que también puede contribuir a la densidad de radiación. Los neutrinos, debido a que son fermiones de espin 1/2 pero que se presentan en un solo tipo determinado por su helicidad contribuyen con una densidad de energía, teniendo en cuenta que existen tres tipo de neutrinos,

u_n = 4 (7/16´ 3) s /c T_n⁴

La temperatura del fondo de neutrinos es exactamente(4/11)^1/3 de la del fondo de fotones, es decirT_n = 1.95 K y por tanto la contribución del fondo de neutrinos es exactamente.

u_n = (21/16) (4/11)^4/3 u = 1.43 10^-14J m^-3

¿Y qué ocurre con la radiación procedente de las estrellas?

La densidad de luminosidad visible observada es (1.7 ± 0,6) h L_¤/Mpc³,

h es como siempre H₀/100 y L_¤ es la luminosidad solar  L_¤ = 3.9 10²⁶ W
lo que significan que se están emitiendo en el visible unos 10^-41 W m^-3 que aún en 20 10⁹ años no contribuirían con más de 10^-23 J m^-3.

    Teniendo en cuenta todo esto, podemos estimar la contribución actual de la radiación en el Universo en 5.63 10^-14J m^-3. Y finalmente podemos calcular

r_m0 /r_r0 ~ W_m0 1.879 h² 10^-26 c²/5.63 10^-14

de tal manera que podemos establecer un orden de magnitud de este valor para
h = 0.65 y W_m0 ~ 1

r_m0 /r_r0 ~ 10⁴

y por tanto tenemos que para z > ~ 10⁴ el universo empezará a estar dominado por la contribución a la energía de la radiación.

    En un universo dominado por radiación (o por cualquier tipo de partículas con velocidades relativistas, a veces denominada materia caliente) tenemos que considerar la densidad de energía, además de la contribución de la presión. La ecuación del movimiento (ecuación de Friedman) puede ser escrita en este caso como:

d²a/dt² = - 4/3 p  G (r_rad + 3 P_rad/c²) a

    Donde el término que sutituye a la densidad se obtiene a partir de la traza del tensor energía-impulso en la ecuación de campo de Einstein. Por tanto el lector tiene que aceptar este hecho sin demostración. Se puede entender de todas maneras como que la contribución gravitacional dentro del volumen está dada por la densidad de energía sumada al flujo de densidad de momento que entra en el volumnen en cada dirección espacial debido precisamente a la presión de la radiación (de ahí el factor 3).

Pero la presión de un gas de partículas relativistas de densidad de energía u viene dada por

P = u/3 = r_rad c²/3

Lo que pruduce como efecto una contribución doble de la densidad.

La presión produce un efecto añadido de disminución de la densidad que podemos medir por el trabajo

dW = P dV = r_rad c² 4/3 p R² dR

Que hay que restar a la energía total 4/3 p R³ r_rad c²

Y por tanto

d [R³ r_rad ] = - R² r_rad dR Þ  d[log(r_rad) ] = - 4 d [log R ] Þ r_rad µ   R^-4

    Este resultado se puede entender como que se produce una disminución de la densidad por un factor R^-3 debido al aumento de volumen, y un factor adicional R^-1 producido por el aumento de la longitud de onda de la partícula debido a la expansión. Como este último hecho es bastante intuitivo, el lector podría invertir todo el razonamiento anterior para entender el origen del la ecuación del movimiento.

La dinámica se convierte entonces en

d²a/dt² = - 4/3 p G (2 r₀) a^-3

Cuya primera integración nos lleva a una ecuación para la energía:

E = (da/dt)² - 8/3 p G r a^-2

Donde E es el doble de la energía total por unidad de masa (ver dinámica de la expansión). La densidad crítica en este caso tiene la misma expresión que habíamos encontrado para el universo de Einstein-de Sitter. El parámetro de expansión para un universo crítico dominado por radiación evoluciona por tanto como a(t) µ   t^1/2

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