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La Paradoja de Olbers |
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La
paradoja de Olbers se suele expresar con la pregunta, aparentemente
ingénua: ¿por qué es oscuro el cielo en la
noche?. Este hecho es sólo un problema genuino en un universo
que es eterno, infinitamente grande y no cambia con el tiempo, puesto
que en un universo así uno encuentra la superficie de una
estrella en cualquier dirección que mire, al igual que en un
bosque suficientemente grande uno siempre encuentra un tronco de
árbol en la línea de visión en cualquier
dirección que se le ocurra mirar.
El argumento se
puede concretar matemáticamente de la siguiente manera:
supongamos un universo del tipo mencionado con una densidad de
estrellas constante. En una superficie esférica centrada en el
observador a una distancia 2r uno puede encontrar exactamente
4 veces más estrellas que en una situada a una distancia r
(ley del inverso del cuadrado de la distancia). Pero a su vez el
flujo de luz recibido de una
estrella a distancia 2r es exactamente 4 veces menor, por lo
que la cantidad de luz recibida de las esferas situada a distancias r
y 2r es exactamente la misma. Si sumamos por tanto las
contribuciones de todas las esferas situadas a cualquier distancia
del observador obtenemos una cantidad ¡infinita! de luz
recibida, lo que es obviamente un absurdo. Lo más que podría
uno hacer para salvar un poco la situación es eliminar la luz
interceptada por los discos estelares que se encuentran más
cerca del observador. Pero aún así obtendríamos
que el cielo debería ser al menos tan brillante como la
superficie solar.
Puesto que éste era el tipo de universo que se aceptaba de forma general antes de los años veinte de este siglo, el verdadero misterio está en por qué nadie había deducido que el universo no podía ser infinitamente viejo de este simple hecho.
El término "paradoja de Olbers" fue hecho popular por el cosmólogo Hermann Bondi en los años cincuenta, en honor del astrónomo germano Heinrich Olbers (1758-1840) que publicó un artículo en 1823 planteando el problema. Pero la idea se remonta a pensadores anteriores. En 1576, el inglés Thomas Digges introdujo el concepto de infinito en la visión moderna del universo - recordemos que el universo Aristotélico-Ptolemaico era finito y todas las estrellas estaban situadas en una misma esfera- aunque se dio perfecta cuenta de la necesidad de explicar la oscuridad del cielo, explicación que él achacó erróneamente a la disminución de la cantidad de luz recibida desde las estrellas más alejadas.
En 1610 la paradoja fue estudiada por Kepler, quien parece ser el primero en darse cuenta que existe un verdadero conflicto entre la oscuridad del cielo y la infinidad del universo. Para Kepler la oscuridad que hay entre las estrellas es la evidencia de la existencia de un borde del universo. Un siglo más tarde, Edmund Halley también investigó el asunto y retomó la explicación errónea de Digges.
Pero la primera persona en formular la paradoja en los términos de Olbers fue el astrónomo suizo Jean-Phillippe Loÿs de Chésaux (1718-51) quien introdujo la hipótesis de que la luz de las estrellas lejanas se debilitaba debido a que era "absorbida" por el espacio vacío. El propio Olbers consideró la posibilidad de absorción de la luz por algún tipo de materia situada entre las estrellas. Pero Olbers no se percató de que este material se calentaría y terminaría radiando tanta energía como recibiría.
Halley leyó dos artículos referentes a la paradoja ante la Royal Society en 1721. Newton estaba presente, pero siquiera Newton fue capaz de apreciar la posibilidad de una explicación apelando a la "edad del universo". La iglesia tenía puesta fecha a la creación (4004 a.C.). Eso podría implicar que el universo tenía que ser menor que unos 6000 años-luz (4004+1721) que es por mucho lo suficientemente pequeño para eliminar la paradoja. El hecho de que Newton, Halley y sus contemporáneos no señalaran esta posibilidad apunta a la poca fe que tenían en la fecha oficial de la creación.
En febrero de 1848, Edgard Allan Poe (1809-49), que además de su conocía faceta como escritor era un científico amateur, publicó un ensayo titulado Eureka, en el cual daba la siguiente explicación a los "vacíos" oscuros observados entre las estrellas: "Podríamos comprender los vacíos que nuestros telescopios encuentran en innumerables direcciones suponiendo que la distancia hasta el fondo invisible es tan inmensa que ningún rayo de luz procedente de allí ha sido todavía capaz de alcanzarnos".
Nadie se percató de estas especulaciones de un científico amateur y Poe murió antes de que se divulgara este argumento. Tampoco hubo nadie que se percatara del interés del asunto cuando en 1907, el científico irlandés Fournier d'Albe escribiera en un artículo: "Si el mundo fue creado 100,000 años atrás, entonces la luz de los cuerpos que estuvieran situados a más de 100,000 años luz no podría habernos alcanzado en el tiempo presente". El mismo d'Albe había cogido la idea de Lord Kelvin, que había publicado la idea en un volumen de conferencias en 1904 y que fue ignorado hasta que Eduard Harrison, de la universidad de Massachussetts, lo rescatara en los ochenta, y publicara el hecho en su libro Darkness at Night (1987). Es curioso señalar como desde Newton hasta Hubble, pasando por los innumerables hombres de ciencia que conocían la paradoja de Olbers, nadie se percatara de que el simple hecho de que el cielo fuera tan oscuro indicaba que el Universo no era infinitamente viejo. Aún hoy en día, dentro de la imagen que nos ofrece el modelo del Big Bang, aunque la paradoja de Olbers ya no sea ninguna paradoja, el hecho de contemplar un cielo nocturno es una de las grandes evidencias a favor de que hubo un Big Bang.
Supongamos un universo con una densidad de estrella n* cada una de las cuales emite como un cuerpo negro de temperatura T*. La cantidad de energía emitida por unidad de tiempo, unidad de superficie, unidad de ángulo sólido y unidad de frecuencia (intensidad específica) es
In = Bn (T* ) = 2 p n (n / c)2 (exp (hn /kT* ) - 1)-1
Si la estrella tiene un radio R* , la luminosidad total emitida hacia el observador es
Ln = 4 p 2 R*2 Bn (T* )
Donde el factor 2 p R*2 viene de la mitad de la superficie de la estrella supuesta esférica y el factor adicional 2p procede de el ángulo sólido en la dirección del observador.
La emisividad total por unidad de volumen de todas las estrellas dentro de un ángulo sólido de tamaño unidad es
jn = n* Ln / 4 p
La variación de la intensidad con la distancia será entonces
d In /ds = jn - an In
que no es más que la ecuación de transporte de la energía, es decir, el principio de conservación aplicado la radiación que se mueve a través del universo. En otras palabras, la variación de la intensidad a lo largo de un trayecto de longitud s tiene una contribución de la energía emitida por las estrellas que se encuentran en este trayecto, y una pérdida debido a la absorción que producen los discos estelares que la radiación encuentra a su paso. an es el coeficiente de absorción, que no es más que el inverso del camino libre medio que podemos expresar como
an = n* p R*2
y la ecuación de transporte se convierte en
d In /ds = n* p R*2 B n - n* p R*2 I n = n* p R*2 (B n - I n )
Cuya solución exacta es
I n (s) = I n (0) exp (-n* p R*2 s) + [1 - exp (-n* p R*2 s)] B n (T* )
Que obviamente tiende a B n (T* ) cuando s®¥
Pero puesto que el cielo es mucho menos brillante que la superficie solar, algo debe estar equivocado en los supuestos que hemos hecho.
A partir de la luminosidad observada es
1.7 108 h L¤ Mpc-3
donde h = H0 /100 y L¤ Mpc-3 luminosidades solares por megaparsec cúbico, podemos hallar el coeficiente de absorción como
an = n*p R*2 = 1.7 108 h (3.08 1024 cm)-3p (7 1010 cm)2 » 10-43 cm
lo que se traduce en un recorrido libre medio de
tn = 1/an = 1043 cm » 1025 años luz
y puesto que la edad del universo es mucho menor que 1025 años necesitamos considerar la tasa de expansión para hacer los cálculos correctamente. Esa es la manera de esquivar la paradoja de Olbers.
Con la expansión del universo tenemos que considerar dos efectos: la edad finita del universo y el desplazamiento al rojo. Para evaluar la ecuación de transporte vamos a considerar la cantidad invariante correspondiente al número de fotones para cada frecuencia y dado por
In [ 2 p n (n / c)2] -1
Donde la frecuencia observada no está relacionada con la frecuencia de emisión nem a través del desplazamiento al rojo como nem = no (1+ z)
d [ Ino(1+z)(1+ z)-3] =jno (1+z) (1+ z)-3 ds
donde la absorción ha sido despreciada, puesto que el coeficiente de absorción es muy pequeño.
Y donde ds = c dt es el camino de la luz a lo largo del cono de luz pasado.
Integrando sobre todas las frecuencias obtenemos la intensidad bolométrica en la posición del observador
I0 = òò jno(1+z) c dt dno = L/4p ò c (1+ z)-1 dt/dz dz
Por ejemplo, recordamos que para un universo de Einstein de Sitter se cumple la siguiente relación:
H0 dt = - (1+ z)-5/2 dz
Y por tanto, integrando para desplazamiento al rojo desde infinito hasta 0,
I0 = 2/5 c/H0 L/4p = 2/5 (3 105 km s-1) (100 h km s-1 Mpc-1 )-1 (2 h 108 L¤ Mpc-3) (4p )-1 =
» 2 1014 (4 1026 W) (3 1022 m)-2» 9 10-5 W m-2
Si tenemos en cuenta que la cantidad de radiación que recibimos del Sol directamente es del orden de 103 W/m2, siete órdenes de magnitud por encima de la contribución del resto de la masa luminosa del universo visible, vemos que dentro del Big Bang no hay lugar para la paradoja.
Notas
Ángulo
sólido. Imagine el lector una proyección cónica
desde un observador. Si a cualquier distancia del vértice del
cono hacemos un corte transversal tendremos una superficie de
magnitud S. El ángulo sólido W
suspendido se define como
W
= S/R2 y se mide en stereoradianes.
Si la superfice elegida envolviera
completamente al observador, tendríamos un ángulo
sólido de 4 p sr
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