En los años veinte podía llevar semanas de exposición determinar el desplazamiento al rojo de una galaxia. Sin embargo resultaba relativamente sencillo fotografiar galaxias y medir así su posición y flujo. Una cantidad observable importante y relativamente sencilla de medir es el número de fuentes más brillantes que un determinado flujo por unidad de ángulo sólido. Normalmente se denota esta cantidad por N(>S). En principio, la cantidad N es función no sólo del flujo, sino de la dirección del cielo en la que observemos. Es, por ejemplo, bien conocida la alta concentración de galaxias brillantes en la dirección de la constelación de Virgo, denominada por razones obvias el cúmulo de Virgo. También se observa a mayor escala un plano del cielo donde la concentración de galaxias es notoria: el Supercúmulo local.
Sin embargo, a medida que uno observa galaxias más y más débiles, la distribución tiende a hacerse uniforme a través de todo el firmamento.
Otra cantidad interesante es la pendiente del número de fuentes d log N/d log S. Si miramos a fuentes cuatro veces menos brillantes, estamos mirando dos veces más lejos (ley del inverso del cuadrado de la distancia). Por tanto el volumen aumentará en 8 veces y el número de fuentes aumentará en la misma proporción si la distribución es uniforme. Por tanto, una distribución uniforme tendrá una pendiente
log (1/8) / log 4 = - lg 8/log 4 = -3/2
Recordando la relación magnitud(m)-flujo(S)
m = -2,5 log S + constante
tenemos que S µ 10 -0.4 m y log S µ -0.4 m
resulta d log N/dm = 0.6
Hubble efectivamente comprobó que esta pendiente ajustaba bastante bien las observaciones que él mismo llevó a cabo. Esto fue un paso decisivo para constatar observacionalmente el principio cosmológico.
Yasuda et al. 2001 presentan evidencias del excelente ajuste de esta pendiente con los datos de la nueva muestra de galaxias conocidad como Sloan Digital Sky Survey.
Sin embargo, podemos ir aún más lejos y contrastar los diferentes modelos de universo utilizando esta nueva cantidad. Escojamos un elemento de volumen de anchura diferencial en distancia alrededor del observador. Puesto que una diferencia en distancia observable implica una diferencia entre tiempos, vamos a estimar este volumen entre t y t+dt como
dV = 4 p R2(t) c dt
Donde R(t) es la distancia a la esfera de anchura diferencial considerada y c dt es la medida de dicha anchura. Por supuesto es conveniente usar magnitudes observables como el desplazamiento al rojo z y la distancia aparente dA,
dV = 4 p dA2(z) c dt/dz dz
En una primera aproximación podemos hacer que el número total de objetos sea invariante, con lo que debe cumplirse
N(t) R3(t)= N0 R03
N = N0 a3(t0)/a3(t) = N0 (1+ z)3
Donde a(t) es el parámetro de expansión. Sustituyendo, tenemos finalmente
dN = N dV = N0 (1+ z)34 p dA2(z) c dt/dz dz
Pero es mucho más habitual muestrear los objetos según su flujo o magnitud. Recordemos que una posible deducción de la distancia se puede hacer a través de la relación entre el flujo y la luminosidad como
dL = (L/4 p S)1/2
Esta es la definición de distancia de luminosidad, y su relación con la distancia aparente viene dada por:
dL = dA (1+ z)2
Sustituyendo obtenemos
dN = N0 (1+ z)-14 p dL2(z) c dt/dz dz
Y podemos diferenciar con respecto al flujo medido de la siguiente manera
dN/dS = N0 (1+ z)-14 p dL2(z) d(dL)/dS c dt/dz dz/ d(dL)
y arreglar un poco como
dN/dS = 1/2 N0 (L/4 p)3/2 S-5/2 [ (1+ z)-1 c dt/dz dz/ d(dL)]
donde hemos utilizado d(dL)/dS=-1/2 (L/4 p)1/2 S-3/2
El primer término (inmediatamente antes del corchete) corresponde a lo esperado en un universo euclídeo sin expansión, y el término entre corchetes corresponde a la corrección cosmológica.
En un universo de tipo general teníamos
c (1+z) dt = - c H0-1 (1+z)-1 (1+1/2 q0 z + o (z2))-1
DL = c H0-1 z {1+1/2 (1 - q0) z+ o (z2)}
Y por tanto d(dL)/dz = c H0-1 {1+(1 - q0) z+ o (z2)}
Sustituyendo tenemos entonces que
dN/dS = 1/2 N0 (L/4 p)3/2 S-5/2 [ (1+ z)-4 (1+o (z2))]
donde los términos en q0
(parámetro de desaceleración)
se cancelan, por lo que en primera aproximación esta
magnitud no nos sirve a la hora de discriminar entre las diferentes
geometrías posibles del universo.
Predicción
de las cuentas para candelas estándar en
varios modelos cosmológicos normalizadas al caso Euclídeo
sin expansión. En este modelo se a tomado la luminosidad
de las fuentes como variando de forma inversamente proporcional a la
frecuencia de la radiación emitida. S1 es el flujo
"Euclideo" a una distancia igual al radio
de Hubble c/H0. Las cuentas de fuentes con
desplazamientos al rojo pequeño se
encuentran a la derecha donde se observa la convergencia de todos los
modelos.
Estado Estacionario: línea azul discontinua
Universo cerrado con W=2: línea roja
Universo de densidad críticaW=1: línea negra
Universo vacío W=0: línea verde
Universo dominado por energía de vacío: línea azul
Cuentas "reales" de radio fuentes: línea negra discontinua
Sin embargo, sí que es un resultado muy útil para discriminar entre el Big Bang y otros modelos como el de Estado Estacionario. En el modelo de Estado Estacionario la densidad de fuentes debe permanecer constante, es decir
N(t) R-3(t)= N0 R0-3
y la corrección en este modelo debe ser de un
factor (1+z)-7. En la figura a continuación se
muestran lo que se espera observar en un modelo del Big Bang con
conservación del número de fuentes (BB w CRS), en el
modelo de Estado Estacionario (SS) y lo que es observado de hecho
(OBS).
El BB tiene un deficit de fuentes débiles, mientras que en el SS el déficit es aún mayor. Sin embargo, mientras que el BB puede subsanar la discrepancia relajando la condición de conservación del número de fuentes a favor de un exceso de radiofuentes entre 1 y 3 Gigaaños después del Big Bang, mientras que el modelo de Estado Estacionario no tiene ningún parámetro ajustable para corregir dicho error.
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