El problema de la curvatura nula

La ecuación de la dinámica de la expansión para un universo dominado por materia puede ser escrita como

E = 1/2 H² a² - 4/3 p G r a²[ec. 1]

Donde E es la energía total (que permanece constante), H  la constante de Hubble, a el parámetro de expansión, G la constante de gravitación y rla densidad de materia.

Si definimos la densidad crítica haciendo E = 0 tenemos que

r_crit = 3 H²/8 p G = 1.879 h² 10^-29 g/cm³

y definiendo la densidad relativa a la crítica como el parámetro de densidad
W = r/ r_crit , podemos poner la ec. 1. Como

W^-1-1 = constante/(r a²)

que se cumple para cualquier tiempo t y concretamente para la época actual (t₀) tenemos

W₀^-1-1 = constante/(r₀ a₀²)

y definiendo a₀ = a(t₀ ) = 1

W^-1-1 =( r₀ / r ) a^-2 (W₀^-1-1)

El parámetro de expansión varía con el desplazamiento al rojo como
a(z) = (1+z)^-1. La densidad en un universo dominado por materia aumenta como r(z) = r₀ (1+z)³ (que no es más que una medida de la disminución de volumen del Universo a medida que nos trasladamos al pasado). Y por tanto tenemos que

W^-1-1 = (1+z)^-1 (W₀^-1-1)

¿Hasta qué desplazamiento al rojo sigue siendo válida esta ecuación?. Tenemos que pensar en que si bien la densidad de materia aumenta con (1+z)³, la densidad de energía de la radiación lo hace como (1+z)⁴. El factor adicional puede ser explicado por el hecho de que la longitud de onda de la luz evoluciona proporcionalmente al factor de expansión que es a su vez proporcional (1+z), por lo que la frecuencia de la radiación (y por tanto su energía) aumenta con el desplazamiento al rojo de la misma manera. Llegará un momento en que las densidades de energía de radiación (r_r) y de materia (r_m) sean del mismo orden. Esto ocurrirá para un desplazamiento al rojo
z ~ 10⁴  (ver universos dominados por radiación)

En este instante tenemos entonces

W^-1-1 ~ 10^-4 (W₀^-1-1)

W₀ = 0.1 ÞW ~ 0.9991

W₀ = 2 ÞW ~ 1.0001

Por lo que en esta época del universo, la densidad difiere de la crítica en cualquier caso en menos del 0.1%.

    Prolongemos nuestros cálculos algo más atrás. Vayamos hasta donde Weinberg (1979) empieza los cálculos en lo que denomina su primer cuadro de la historia térmica del universo con T = 10¹¹K. En mi opinión este es un punto hasta donde podemos todavía seguir utilizando las ecuaciones del modelo estándar del Big Bang con un margen de confianza muy elevado. A esta temperatura, el contenido del universo en el Modelo Estándar es de electrones, tres tipos de neutrinos, sus respectivas antipartículas y fotones. Cada fermión contribuye con 7 g/16 veces la densidad de fotones, donde g es el número de estados que puede presentar cada fermión. En el caso del electrón, se pueden dar dos estados de espín y g = 2. En el caso del neutrino, aunque tienen espin 1/2 sólo se encuentran con un tipo de helicidad y g = 1 . Por tanto tenemos, que la contribución a la densidad de energía es:

u (electrones)+ u (positrones) + u (neutrinos) + u (antineutrinos) + u (fotones) = (14/16 + 14/16 + 21/16 + 21/16 + 1) u (fotones) = 86/16 u (fotones)
 
 

u = 4 (86/16) s/c T⁴ = 4 10²⁹ J m^-3

Para calcular el desplazamiento al rojo podemos suponer que la densidad de entropía de la radiación en equilibrio térmico permanece aproximadamente constante pues, por la condición de homogeneidad, no puede haberse intercambio de calor entre distintas partes del universo. Desde luego que esto es una aproximación, puesto que cuando la densidad de energía era de ~ 1 MeV por partícula, se produjo la aniquilación de pares electrón-positrón que produjo un aumento de la energía media de los fotones. La entropía de la radiación se calcula como

S = 4/3 u/T

Y nuestra condición aproximada de "conservación de la entropía" en un volumen dado de universo se puede expresar como

4/3 u/T = 4/3 u_o/T_o (1+z)³

donde el término (1+z)³ procede del aumento de volumen debido a la expansión. Sustituyendo el valor de u_o para T₀= 2.7 K  (calculado aquí), y el valor de u para T = 10¹¹K, tenemos que

z ~ 5 10¹⁰

un valor que podríamos haber estimado fácilmente teniendo en cuenta que la conservación de la entropía de la radiación implica T(z) = T₀ (1+ z). Sin embargo, los cálculos son bastante instructivos para que tengamos en cuenta los cambios de condiciones del universo a medida que nos vamos al pasado de su historia, y el número de partículas y la interacciones entre ella se complica.

    Como para un Universo dominado por radiación se cumple la misma ecuación dinámica que para el caso del dominado por materia (ec.1), pero la densidad de energía aumenta con un factor (1+z)⁴, podemos poner ahora

W^-1-1 = (1+z)^-2 (W₀^-1-1)

que para un desplazamiento al rojo z ~ 5 10¹⁰ se traduce en

W^-1-1 = 4 10^-22(W₀^-1-1)

Como se puede apreciar, la convergencia hacia el valor W = 1 es sorprendentemente precisa. En esta época del universo el parámetro de densidad estaba definido con un valor entre

0.9999999999999999999996 < W < 1.0000000000000000000002

    Aún si vamos más lejos y utilizamos el Modelo Estándar de la física de partículas y llevamos nuestros cálculos hasta tiempos del orden del tiempo de Planck, la convergencia hacia el valor W = 1 es tan buena como 1 parte en 10^-60.

¿Por qué esto es así?. ¿Por qué el universo empezó con una densidad tan próxima a la crítica, y por tanto una curvatura global despreciable?. Éste es el famoso problema de la curvatura nula.

Tiempo de colapso

    Puesto que las ecuaciones dinámicas del Universo corresponden a un movimiento radial bajo la única acción de la gravedad, podemos aplicar las soluciones de Kepler y parametrizar el tiempo y el parámetro de expansión como

t = A (E-sen E)

a = B (1-cos E)

Donde E es un parámetro que varía entre E=0 y E = 2 p y A,B constantes. Sustituyendo en las ecuaciones del movimiento, se puede determinar que:

q = (1+cosE)^-1, siendo q el parámetro de desaceleración

y para unas condiciones iniciales dadas en tiempo t₀ encontramos que:

A = t₀ (E₀ - senE₀)^-1 y B = (2 - q₀^-1)^-1 y

H₀ t₀ = 1/a da/dt t₀ = (E₀ - senE₀) senE₀ (1 - cos E₀)^-2

    Veamos lo que podría haber en los momentos iniciales del universo si éste tuviera una densidad mayor que la densidad crícica. El parámetro de desaceleración sería (en el caso dominado por radiación)

 q₀ = W₀

y por tanto E₀ = arccos (W₀^-1- 1)

Y la relación de tiempos hasta el colapso del universo o Big Crunch (E=2p) vendría dada por

t_BC / t₀ = 2p {arcos(W₀^-1-1)- [1-(W₀^-1-1)²]^1/2}^-1

para W₀ = 1.1 por ejemplo, la relación de tiempos sería del orden de 10. Por tanto, si en las primeras fracciones de segundo de la vida del universo, la densidad no hubiera estado ajustada  de forma muy precisa a 1, el universo no hubiera envejecido lo suficiente.

    ¿Qué ocurriría si en épocas tempranas la densidad hubiera sido apreciablemente menor que la densidad crítica?. Aquí los problemas podrían venir por un lado porque la nucleosíntesis se vería afectada por el cambio en la tasa de expansión y por otro lado el universo se expandiría demasiado rápido para que diera tiempo a que las fluctuaciones de densidad colapsaran para formar las estructuras a gran escala.

    Inflación al rescate

El problema de la curvatura nula tiene una explicación natural dentro de los modelos inflacionarios del universo en sus primeros instantes. Si el universo sufrió una expansión exponencial dominada por la energía de vacío, vemos a partir de la ecuación

W^-1-1 = r₀/r a^-2 (W₀^-1-1)

y teniendo en cuenta que la densidad de energía de vacío no varía, podemos fijar con gran precisión el parámetro de densidad a 1 si suponemos que hubo una expansión del universo del parámetro de expansión del orden de 10³⁰ o más tenemos que

W^-1-1 ~ 10^-60 (W₀^-1-1)

con lo que para cualquier valor razonable de partida W₀ la densidad queda fijada con gran precisión a la densidad crítica. Esto es lo que se quiere decir cuando se oye que inflación produce un universo espacialmente plano.
 

índice principal de Cosmología

Copyright 1996-2004 Pedro J. Hernández