Podríamos suponer en principio que la relación lineal velocidad-distancia sólo es aplicable a distancias relativamente próximas. Veamos que la relación es más general y aplicable a cualquier distancia. Supongamos entonces dos observadores situados en galaxias G1 y G2 que se encuentran relativamente próximas y que pueden medir directamente sus distancias enviando por ejemplo señales de radar. En el tiempo entre la emisión y la recepción de la señal (D t ) la galaxia G2 se habrá alejado una cantidad
V D t = H D12 ( t ) D t
Con lo que la distancia habrá crecido
D12 (t+D t) = D12 (t) + H D12 (t) D t = D12 (t) [1+ H D t ]
Ahora supongamos que queremos conocer la distancia de una galaxia lejana Gn desde la galaxia G1. El truco consistiría en poner de acuerdo a un grupo de observadores en galaxias equidistantes G2, G3, G4, ...., Gn-1 que se encontraran en la misma línea de visión que G1 y Gn y que hicieran el mismo tipo de medición de distancias mediante señales de radar. La distancia sería entonces la suma de toda estas subdistancias deducidas por cada observador en un determinado tiempo, y esto nos llevaría a que una ley del tipo
V = H D
se cumple para cualquier distancia. En realidad, una idea aún más sencilla es entender esta relación como una mera definción.
Por supuesto la distancia D (denominada distancia física o distancia propia ) no es directamente observable. Lo mejor que podemos hacer (a falta de nuestros amables observadores) es definir distancias que sí podamos medir. Dos de estas distancias se deducen a partir:
De los diámetros aparentes. Un objeto de dimensionesD L perpendicular a la línea de visión sutiende un ángulo D q = D L / DA, donde DA se define como la distancia aparente.
A partir de la relación (ley del inverso del cuadrado de la distancia) entre la luminosidad L del objeto y el flujo medido F tenemos que F = L / (4 p DL2) y definimos DL como la distancia de luminosidad
Existe una relación entre estas dos medidas de distancia, si tenemos en cuenta que la emisión de un objeto a una determinada temperatura (emisión de cuerpo negro) conserva su estructura en una expansión homóloga. Dicho de otra manera, cualquier fotón que haya sido emitido con una frecuencia nem será observado con una frecuencia nobs = nem / (1+ z), donde z es el desplazamiento al rojo, aunque el número total de fotones que fueron emitidos a la frecuencia nem tiene que ser igual al número de fotones recibidos con frecuencia nobs = nem / (1+ z) ,por lo que la temperatura deducida a partir de la observación y la temperatura del objeto que produjo la emisión, tienen que estar relacionadas como
Tobs = Tem / (1 + z).
La luminosidad emitida por la superficie visible de un cuerpo negro de diámetro R viene dada por L= 4 p R2s Tem4 , dondes es la constante de Stefan-Boltzmann (s = 5.67051 10-8 ± 1.9 10-12 W m-2 K-4 )
Y el flujo recibido desde una superficie circular que sustiende un ángulo D q es
F = (D q )2s T4obs . Entonces tenemos:
DL2 = L / (4 p F) = (R/D q )2 Tem4 / T4obs = DA2 (1+ z)4
De donde resulta la sencilla relación
DL= DA (1+ z)2
Cualquier modelo cosmológico que se precie tendrá que ofrecernos una predicción de cómo variarán estas distancias observables con algún indicador fácilmente observable como el desplazamiento al rojo.
Si utilizamos el elemento de línea de FRW
ds2 = c2 dt2 - a2(t) R02 [ (1- k r2)-1 dr2- r2 [dd 2 + cos 2d da 2 ]
DA es entonces D L / d d
donde D L es la longitud (en el tiempo en que la luz fue emitida) del objeto que tiene que ser calculada (recordando que no estamos en un espacio euclídeo) como
(- ds)-1/2 para dt = dr = da = 0 y por tanto
DA = a(tem) R0 r
donde para calcular r tenemos que seguir el camino radial de un rayo luminoso desde el objeto hasta el observador. Esto consite (haciendo ds = 0, con da = 0 y dd = 0 ) en integrar la ecuación
c dt = a(t) R0 (1- k r2)-1/2 dr
y recordando que a(t) = (1+ z)-1
tenemos que
R0 ò (1- k r2)-1/2 dr = ò (1+z) c dt [ I ]
Donde tendremos que integrar entre el tiempo de
emisión (tem) y
el tiempo presente (t0).
Obsérvese que la integral temporal del segundo miembro pude
ser entendida como la suma de las distancias c dt que han
crecido un factor 1+z en el tiempo que ha tardado la luz en llegar
desde el objeto al observador (ver un ejemplo
divulgativo de esta situación).
En este modelo la curvatura
K = 0 y a(t) = (t/t0)2/3
Por tanto (1+z) = (t / t0)-2/3 y dt = -3/2 t0 (1+z)-5/2 dz
Sustituyendo en la integral anterior estos valores, llegamos a
R0 r = 3 t0 c [1 - (1+z)-1/2]
Y sustituyendo en la expresión para
DA = a(tem) R0 r = 2 c/H0 [(1+z)-1 - (1+z)-3/2]
Y
DL = DA (1+z)2 = 2 c H0-1 [1+z - (1+z)1/2]
Donde hemos sustituido t0 por 2/3 H0-1
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos planos con constante cosmológica
En este tipo de modelo preferido
actualmente la curvatura K
= 0 de tal forma que los parámetros
de densidad cumplen la relación Wtotal
= Wm +
WL
= 1
La
ecuación general de evolución del factor
de escala (ecuación de
Friedmann) puede escribirse como
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r + l /3 - K c2/a2
Donde el témino l representa la constante cosmológica. Es habitual definir los siguientes parámetros de densidad:
parámetro de densidad de materia Wm = 8/3 p G rm / H2
parámetro de densidad de radiación WR = 8/3 p G rR / H2
parámetro de densidad de energía de vacío Wl = l /(3H2)
parámetro de densidad debido a la curvatura Wk = - K c2/H2
Puesto que la densidad de materia se diluye como el cubo del factor de escala a medida que el universo se expande mientras la constante cosmológica permanece constante podemos poner
H2 = [1/a da/dt]2 = [(1+z)-1 dz/dt]2 = H02[W0m a -3 + W0l ]
puesto que a (z) = 1/(1+z) tenemos que
dt/dz = 1/H0 (1+z)-1 {W0m (1+z)3 + W0l }-1/2
y por tanto
R0 r = ò0 z (1+z) c dt/dz dz = c/H0ò0 z { W0m (1+z)3 + W0l }-1/2 dz =
= DH E (z)
DH es el radio de Hubble c/H0 y E(z) es la evaluación numérica de la integral:
Representación en unidades del radio
de Hubble de la distancia comóvil radial R0
r, distancia aparente DA y distancia de luminosidad
DL en función del desplazamiento
al rojo z para tres modelos: universo de
Einstein-de Sitter®(W0m
,W0l) = (1,0)®línea
verde, universo de baja densidad ®(W0m
,W0l) = (0.05,0) ®
línea azul y universo dominado por la contribución de
la constante cosmológica ®(W0m
,W0l) = (0.35,0.65) ®
línea roja
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos de tipo general
La ecuación de Friedmann generalizada
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r + l /3 - K c2/a2
puede escribirse en función de los parámetros
de densidad correspondientes como
H2
= [1/a da/dt]2 = [(1+z)-1
dz/dt]2 =
=
H02 [W0m
a -3 + W0R
a -4 +W0K
a -2 +W0l
]
y puesto que a (z) = 1/(1+z) tenemos que
dt/dz = 1/H0 (1+z)-1 {W0m (1+z)3 + W0R (1+z)4 +W0K (1+z)2 +W0l }-1/2
y por tanto la integral I se puede poner como
ò0
z (1+z) c dt/dz dz =
= c/H0ò0
z {
W0m
(1+z)3 +W0R
(1+z)4 +W0K
(1+z)2 + W0l
}-1/2 dz =
|
Sen (R0 r ) K > 0 |
|
|
= DH E (z) = |
R0 r K = 0 |
|
Senh (R0 r ) K < 0 |
DH es el
radio de Hubble c/H0
y E(z) es la evaluación numérica de
la integral
Clásicamente (sobre todo antes de la aparición de los ordenadores que permite resolver integrales numéricas de una manera eficiente) era habitual desarrollar en serie de potencias el parámetro de expansión
a(t0+D t) = a(t0) {1+H0D t - 1/2 q0 (H0D t)2+...}
Con q0 definido como parámetro de desaceleración y por tanto
da = H0 (1 - 1/2 q0 H0D t+...) dt = - (1+z)-2 dz
y como H0D t = - z + o (z2)
podemos poner
c (1+z) dt = - c H0-1 (1+z)-1 (1+1/2 q0 z)-1
que integrado entre z y 0 y quedándonos de nuevo en segundo orden
c H0-1 z {1-1/2 (1+ q0) z + o (z2)}
Puesto que la integral en la coordenada r
ò (1 + k r2)-1/2 dr
es r, sen(r), senh(r) para k = 0,1,-1 respectivamente, la integral sólo diferirá de r en términos de orden mayores que tres y por tanto podemos aproximar
DA = c H0-1 z (1+z)-1 {1-1/2 (1+ q0) z + o (z2)}= c H0-1 z {1-1/2 (3+ q0) z+ o (z2)}
Y
DL = DA (1+z)2 = c H0-1 z {1+1/2 (1 - q0 ) z+ o (z2)}
con
q0 = - a (d2a/dt2)
(da/dt)-2 =1/2 W0m+
W0R -
W0l
Calculador de las características de diferentes modelos de universo perteneciente al magnífico FAQ de cosmología del astrónomo Neil Wright
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